2021新高考数学二轮总复习 专题突破练12 三角变换与解三角形（含解析）.docx

1、专题突破练12三角变换与解三角形1.(2020江西名校大联考,理17)已知函数f(x)=2asin2-xcosx-23,且f3=1.(1)求a的值及f(x)的最小正周期;(2)若f()=-13,0,2,求sin 2.2.(2020山东滨州二模,17)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,求ABC的周长L和面积S.在cos A=35,cos C=55,csin C=sin A+bsin B,B=60,c=2,cos A=-14这三个条件中,任选一个补充在上面问题中的横线处,并加以解答.3.(2020北京,17)在ABC中,a+b=11,再从条件,条件这两个条件中选择一个作为

2、已知,求:(1)a的值;(2)sin C和ABC的面积.条件:c=7,cos A=-17;条件:cos A=18,cos B=916.4.(2020山东潍坊二模,17)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,A=3.(1)若B=4,求b;(2)求ABC面积的最大值.5.(2020江苏,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=2,B=45.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cosADC=-45,求tanDAC的值.6.(2020山东济宁5月模拟,17)在sin A,sin B,sin C成等差数列;sin B,sin A,

3、sin C成等比数列;2bcos C=2a-3c三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S.若,且4S=3(b2+c2-a2),试判断ABC的形状.7.(2020山东潍坊一模,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量m=(c-a,sin B),n=(b-a,sin A+sin C),且mn.(1)求C;(2)若6c+3b=3a,求sin A.8.(2020山东模考卷,18)在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面

4、积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.专题突破练12三角变换与解三角形1.解(1)由已知f3=1,得2a1212=1,解得a=2.所以f(x)=4cosx32sinx-12cosx=23sinxcosx-2cos2x=3sin2x-cos2x-1=2sin2x-6-1.所以f(x)=2sin2x-6-1的最小正周期为.(2)f()=-13,2sin2-6-1=-13,sin2-6=13,因为0,2,所以2-6-6,56.又因为sin2-6=1312,所以2-60,6.所以cos2-6=1-sin22-6=223,则sin2=sin2-6+6=sin2-6cos6+

5、cos2-6sin6=1332+22312=3+226.2.解方案一:选条件.因为cosA=35,cosC=55,且0A,0B,所以sinA=45,sinC=255.在ABC中,A+B+C=,即B=-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4555+35255=10525=255.由正弦定理得,b=asinBsinA=425545=25.因为sinB=sinC,所以c=b=25.所以ABC的周长L=a+b+c=4+25+25=4+45,ABC的面积S=12absinC=12425255=8.方案二:选条件.csinC=sinA+bsinB,由正弦定理得,

6、c2=a+b2.因为a=4,所以b2=c2-4.又因为B=60,由余弦定理得b2=c2+16-24c12,所以c2-4c+16=c2-4,解得c=5.所以b=21.所以ABC的周长L=a+b+c=4+21+5=9+21,ABC的面积S=12acsinB=53.方案三:选条件.c=2,cosA=-14,由余弦定理得,16=b2+4+2b214,即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).所以ABC的周长L=a+b+c=4+3+2=9.因为A(0,),所以sinA=1-cos2A=154.所以ABC的面积S=12bcsinA=1232154=3154.3.解方案一:选条件.(1)c=7,c

7、osA=-17,a+b=11,a2=b2+c2-2bccosA=(11-a)2+72-2(11-a)7-17,a=8.(2)cosA=-17,A(0,),sinA=1-cos2A=437.由正弦定理得asinA=csinC,8437=7sinC,sinC=32.S=12basinC=12(11-8)832=63.方案二:选条件.(1)cosA=18,cosB=916,A,B(0,),sinA=1-cos2A=378,sinB=1-cos2B=5716.由正弦定理得asinA=bsinB,a378=11-a5716,a=6.(2)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=3

8、78916+571618=74.S=12basinC=12(11-6)674=1574.4.解(1)由正弦定理得b=asinBsinA=23sin4sin3=22.(2)因为ABC的内角和A+B+C=,A=3,所以0B23.因为b=asinAsinB=4sinB,所以SABC=12absinC=43sinBsin23-B=43sinB32cosB+12sinB=6sinBcosB+23sin2B=23sin2B-6+3.因为0B23,所以-62B-676.当2B-6=2,即B=3时,ABC面积取得最大值33.5.解(1)在ABC中,因为a=3,c=2,B=45,由余弦定理b2=a2+c2-2a

9、ccosB,得b2=9+2-232cos45=5,所以b=5.在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得5sin45=2sinC,所以sinC=55.(2)在ADC中,因为cosADC=-45,所以ADC为钝角,而ADC+C+CAD=180,所以C为锐角.故cosC=1-sin2C=255,则tanC=sinCcosC=12.因为cosADC=-45,所以sinADC=1-cos2ADC=35,tanADC=sinADCcosADC=-34.从而tanDAC=tan(180-ADC-C)=-tan(ADC+C)=-tanADC+tanC1-tanADCtanC=-34+121-3412=

10、211.6.解方案一:选条件.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sinA,sinB,sinC成等差数列,所以2sinB=sinA+sinC,即2b=a+c,即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.所以ABC为等边三角形.方案二:选条件.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,因为sinB,sinA,sinC成等比数列,所以sin2A=sinBsinC,即a2=bc

11、,所以(b-c)2=0,所以b=c.所以ABC为等边三角形.方案三:选条件.由4S=3(b2+c2-a2)可得2bcsinA=23bccosA,所以tanA=3.又因为0A,所以A=3.因为2bcosC=2a-3c,所以2sinBcosC=2sinA-3sinC,即2sinBcosC=2sin(B+C)-3sinC,可得cosB=32,所以B=6,所以C=2.所以ABC为直角三角形.7.解(1)因为mn,所以(c-a)(sinA+sinC)=(b-a)sinB,由正弦定理得(c-a)(a+c)=(b-a)b,所以a2+b2-c2=ab,所以cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12.因

12、为C(0,),故C=3.(2)由(1)知B=23-A,由题设及正弦定理得6sinC+3sin23-A=3sinA,即22+32cosA+12sinA=sinA,可得sinA-3=22.因为0A23,所以-3A-33,所以cosA-3=22,故sinA=sinA-3+3=sinA-3cos3+cosA-3sin3=6+24.8.解(1)如图所示,在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC,所以SABC=12ABAC,SCDF=12CDDF,且CDF的面积等于ABC的面积.由于DF=AC,所以CD=AB.D为BC的中点,故BC=2AC,所以ABC=60.(2)如图所示,设AB=k,因为A=90,ABC=45,BD=3DC,DF=AC,所以AC=k,CB=2k,CD=24k,DF=k.因为DFBC,所以CF2=CD2+DF2,解得CF=324k.且BF2=BD2+DF2,解得BF=344k.在CBF中,利用余弦定理得cosCFB=CF2+BF2-BC22CFBF=98k2+178k2-2k22324k344k=51751.