1、专题强化练11导数的运算法则及其应用一、选择题1.(2020江苏无锡锡东高级中学高二下4月线上检测,)若函数f(x)=2xf (1)+x2,则 f (-1)f(-1)等于()A.- 34B.34C.- 65D.- 562.(2021江苏常州教育学会高三上水平监测,)已知函数f(x)=x2+aln x,a0,若曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线是曲线y=f(x)的所有切线中斜率最小的,则a=()A.12B.1C.2D.23.(2020江苏泰州中学高二下检测,)函数f(x)=x-g(x)的图象在x=2处的切线方程是y=-x-1,则g(2)+g(2)=()A.7B.4C.0D.-44.(2021
2、山东潍坊高三上期中联考,)随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P02-t30,其中P0为初始时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-32ln210,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为()A.20天B.30天C.45天D.60天5.(多选)(2020江苏无锡大桥实验学校高二下期中,)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f (x)是函数f(x)的导数,f (x)是f (x
3、)的导数,若方程f (x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数f(x)的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=13x3-12x2+1312,则以下说法正确的是()A.函数f(x)图象的对称中心为12,0B.f 1100+f 2100+f 98100+f 99100的值是99C.函数f(x)图象的对称中心为12,1D.f 1100+f 2100+f 98100+f 99100的值是16.(多选)()已知f (x)为函数f(x)的导函数,且f(x)=12x2-f(0)x+f (1)ex-1,若g(x)=f
4、(x)-12x2+x,方程g(x)-ax=0有且只有一个根,则a的取值可能是()A.eB.1C.-1D.-12二、填空题7.(2021江苏无锡江阴高三上开学检测,)设曲线f(x)=ex在点(0,1)处的切线与曲线g(x)=1x(x0)上点处的切线垂直,则点的坐标为.8.(2020江苏扬州高二下期中,)设f0(x)=cos x,f1(x)=f 0(x),f2(x)=f 1(x),fn+1(x)=f n(x)(nN),若ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+f3(A)+f2 022(A)=0,则sin A=.三、解答题9.()已知在曲线f(x)=13x3-2x2+ax(aR)的所有切线中,有且
5、仅有一条切线l与直线y=x垂直.(1)求a的值和切线l的方程;(2)设曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角为,求的取值范围.10.(2020江苏苏州张家港高二下期中联考,)已知a,b,cR,函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的导函数为f (x).(1)若b=c,求曲线y=f(x)在点(b,f(b)处的切线方程;(2)求1f (a)+1f (b)+1f (c)的值.答案全解全析专题强化练11导数的运算法则及其应用一、选择题1.Cf (x)=2f (1)+2x,令x=1,得f (1)=2f (1)+2,f (1)=-2,f (x)=2x-4,f(x)=-4x+x2,f (-1)=-
6、6,又f(-1)=5,f (-1)f(-1)=-65.故选C.2.Df (x)=2x+ax,由导数的几何意义可知当x=1时,f (x)取得最小值,因为a0,x0,所以f (x)=2x+ax22xax=22a,当且仅当2x=ax,即a=2x2时, f (x)取得最小值,又因为x=1时f (x)取得最小值,所以a=212=2,故选D.3.Af(x)=x-g(x),f (x)=1-g(x),因为函数f(x)=x-g(x)的图象在x=2处的切线方程是y=-x-1,所以f(2)=-3,f (2)=-1,g(2)+g(2)=2-f(2)+1-f (2)=7,故选A.4.答案D信息提取(1)某放射性同位素的
7、含量P与时间t之间满足函数关系P(t)=P02-t30;(2)t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-32ln210;(3)求放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间.数学建模本题以化学中放射性同位素的衰变为背景,构建函数模型,将放射性同位素的瞬时变化率转化为导数来求解.由已知可得P(15)=-32ln210,根据该等式列出关于P0的方程并求出P0,再令P(t)=4.5,解出t即得结果.解析由P(t)=P02-t30得P(t)=-130P02-t30ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-32ln210,所以P(15)=-2ln260P0=-32ln210,解得P0=18,
8、则P(t)=182-t30,当该放射性同位素含量为4.5贝克,即P(t)=4.5时,有182-t30=4.5,即2-t30=14,所以-t30=-2,解得t=60.故选D.5.BC因为f(x)=13x3-12x2+1312,所以f (x)=x2-x,则f (x)=2x-1,令f (x)=2x-1=0,解得x=12,易求得f12=13123-12122+1312=1,由题意可知函数f(x)=13x3-12x2+1312的图象的对称中心为12,1,所以f(x)+f(1-x)=2,设S=f1100+f2100+f98100+f99100,所以有S=f99100+f98100+f2100+f1100,
9、+得,2S=2+2+2+2=299S=99,即f1100+f2100+f98100+f99100的值是99.故选BC.6.ACDf(x)=12x2-f(0)x+f (1)ex-1,f(0)=f (1)e-1,f (x)=x-f(0)+f (1)ex-1,f (1)=1-f (1)e-1+f (1)e1-1,解得f (1)=e,f(0)=f (1)e-1=1,f(x)=12x2-x+ex,g(x)=f(x)-12x2+x=12x2-x+ex-12x2+x=ex,令g(x)-ax=0,得ex-ax=0,即ex=ax.当a=0时,函数y=ex与y=0的图象没有交点,关于x的方程ex-ax=0无解,不
10、满足条件;当a0时,函数y=ex与y=ax的图象只有一个交点,关于x的方程ex-ax=0有唯一解,满足条件;当0ae时,函数y=ex与y=ax的图象有两个交点,关于x的方程ex-ax=0有两个解,不满足条件.故a的取值范围是a=e或a0).对f(x)=ex求导得f (x)=ex,令x=0,得曲线f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1,故曲线g(x)=1x(x0)上点P处的切线的斜率为-1,即x=x0时,g (x0)=-1x02=-1,得x0=1(负值舍去),则y0=1,所以点P的坐标为(1,1).8.答案22解析由题意得,f1(x)=f 0(x)=-sin x,f2(x)=f 1(x)
11、=-cos x,f3(x)=f 2(x)=sin x,f4(x)=f 3(x)=cos x,f5(x)=f 4(x)=-sin x,所以fn(x)是周期为4的周期数列,且f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,f1(A)+f2(A)+f3(A)+f2 022(A)=f1(A)+f2(A)=-sin A-cos A=0,即tan A=-1,又A是三角形ABC的内角,A=135,故sin A=22.三、解答题9.解析(1)由题意知,f (x)=x2-4x+a,且方程x2-4x+a=-1有两个相等的实数根,=(-4)2-4(a+1)=0,解得a=3,此时方程x2-4x+a=-1化为x2-
12、4x+4=0,得x1=x2=2,切线l与曲线的切点的纵坐标为f(2)=23,切线l的方程为y-23=-(x-2),即3x+3y-8=0.(2)设曲线y=f(x)上任意一点(x,y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在),由(1)知k=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,即tan -1,的取值范围为02或34.10.解析(1)若b=c,则f(x)=(x-a)(x-b)2,所以f (x)=(x-b)2+(x-a)2(x-b),则f (b)=(b-b)2+(b-a)2(b-b)=0,即曲线y=f(x)在点(b,f(b)处的切线的斜率为0,又f(b)=(b-a)(b-b)2=0,所以所求切线方程为y=0.(2)由f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)得f (x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),所以f (a)=(a-b)(a-c), f (b)=(b-a)(b-c), f (c)=(c-a)(c-b),因此1f (a)+1f (b)+1f (c)=1(a-b)(a-c)+1(b-a)(b-c)+1(c-a)(c-b)=1a-b1a-c-1b-c+1(c-a)(c-b)=1a-bb-a(a-c)(b-c)+1(a-c)(b-c)=-1(a-c)(b-c)+1(a-c)(b-c)=0.