1、2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1椭圆的短轴长为（）A4B5C6D82双曲线的一条渐近线方程为（）Ay=2xBCy=4xD3抛物线y=6x2的焦点坐标为（）A（0，）B（，0）C（0，）D（，0）4下列命题：如果x=y，则sinx=siny；如果ab，则a2b2；A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆其中正确命题的个数是（）A0B1C2D35椭圆4x2+y2=1的离心率为（）ABCD6过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（）Ax2BCD7“点P到两条坐标轴距离相等”是“点
2、P的轨迹方程为y=|x|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件8椭圆的焦距为6，则m的值为（）Am=1Bm=19Cm=1 或 m=19Dm=4或m=169双曲线的渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（）ABC或D或10过椭圆C：（ab0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心率取值范围是（）A（）B（，1）C（）D（）11直线y=x1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（）A6B8C7D912椭圆（ab0），F（c，0）为椭圆右焦点，A为椭圆左顶点，且b2=ac，P为椭圆上不同于A
3、的点，则使=0的点P的个数为（）A4B3C2D0二、填空题（每题5分共20分）13离心率为的椭圆C：（ab0），PC，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为14抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为15已知椭圆+=1（ab0），过P（a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若APB=120，则椭圆的离心率为16已知椭圆，A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A，B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为、，则=三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17已知椭圆，一组平行直线的斜率是（1）这组直
4、线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上18已知椭圆E： +=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为M，且MF1F2为面积是1的等腰直角三角形（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值19已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为（1）求P点的坐标；（2）求PF1F2的面积20曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求x1x2+y1y2；（2）若
5、，求直线l的方程21已知椭圆C： +=1（ab0），圆Q：（x2）2+（y）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求MAB的面积的取值范围2016-2017学年吉林省长春十一中高二（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1椭圆的短轴长为（）A4B5C6D8【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴长2b=8【解答】解：由椭圆，焦点在y轴上，则a=5，b=4，则短轴
6、长2b=8，故选D2双曲线的一条渐近线方程为（）Ay=2xBCy=4xD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线方程求解渐近线方程即可【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=2x故选：A3抛物线y=6x2的焦点坐标为（）A（0，）B（，0）C（0，）D（，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】将抛物线y=6x2转化成标准方程为：x2=y，则焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，即可求得抛物线的焦点坐标【解答】解：由抛物线y=6x2的标准方程为：x2=y，焦点在y轴的正半轴上，由抛物线的性质可知：2p=，则=，焦点坐标为（0，），故选：C4下列命题：如果x=y，则sinx=sin
7、y；如果ab，则a2b2；A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据三角函数的定义，可判断；举出反例，可判断；根据椭圆的定义，可判断【解答】解：如果x=y，则sinx=siny为真命题；如果a=1，b=1，则ab，但a2=b2为假命题；A，B是两个不同定点，动点P满足|PA|+|PB|是常数，则动点P的轨迹是椭圆或线段，为假命题故选：B5椭圆4x2+y2=1的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，求出a，b，c，即可求出椭圆的
8、离心率【解答】解：椭圆4x2+y2=1可化为椭圆+y2=1，a=1，b=，c=，e=故选C6过（2，2）点与双曲线x2有共同渐近线的双曲线方程为（）Ax2BCD【考点】双曲线的简单性质【分析】要求的双曲线与双曲线x2=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2=把点（2，2）代入可得，即可得出【解答】解：要求的双曲线与双曲线x2=1有共同的渐近线，可设要求的双曲线的标准方程为：x2=把点（2，2）代入可得：=41=3，要求的双曲线的标准方程为：故选C7“点P到两条坐标轴距离相等”是“点P的轨迹方程为y=|x|”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分不必要条件【考点】
9、必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】设动点的坐标为（x，y），结合与两坐标轴距离即可求得轨迹方程【解答】解：设动点P（x，y），则它到两坐标轴x，y距离的分别为|y|，|x|，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是|x|=|y|，故y=|x|是|x|=|y|的必要不充分条件，故选：B8椭圆的焦距为6，则m的值为（）Am=1Bm=19Cm=1 或 m=19Dm=4或m=16【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的焦距为6，即2c=6，则c=3，c2=9，由当焦点在x轴上，则0m10，则c2=10m，当焦点在y轴上，则m10，则c2=m10，即可求得m的值【解答】解：由椭圆的焦距为6，即2c=6，
10、则c=3，c2=9由当焦点在x轴上，则0m10，则c2=10m，则m=1，当焦点在y轴上，则m10，则c2=m10，解得：m=19，故选C9双曲线的渐近线斜率为2，则该双曲线的离心率为（）ABC或D或【考点】双曲线的简单性质【分析】讨论m0，m0，判断双曲线焦点位置，由双曲线渐近线方程和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：当m0时，双曲线焦点在x轴上，由题意可得=2，即b=2a，c=a，即e=；当m0时，双曲线焦点在y轴上，由题意可得=，即b=a，c=a，即e=故选：C10过椭圆C：（ab0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B且点B在x轴上射影恰好为右焦点F，若，则椭圆C的离心
11、率取值范围是（）A（）B（，1）C（）D（）【考点】椭圆的简单性质【分析】F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得： +=1，解得y=B，可得k=（1e），利用，解出即可得出【解答】解：F（c，0），把x=c代入椭圆方程可得： +=1，解得y=B，k=（1e），解得则椭圆C的离心率取值范围是故选：A11直线y=x1与圆及抛物线依次交于A，B，C，D四点，则|AB|+|CD|=（）A6B8C7D9【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】根据抛物线的性质，可得|AD|=x1+x2+2，|BC|为圆直径1，进而得到答案【解答】解：圆的圆心和抛物线的焦点（1，0），直线y=x1经过（1，0），由得：x26
12、x+1=0，故|AD|=x1+x2+2=8，圆的半径为，故直径|BC|=1，故|AB|+|CD|=|AD|BC|=7，故选：C12椭圆（ab0），F（c，0）为椭圆右焦点，A为椭圆左顶点，且b2=ac，P为椭圆上不同于A的点，则使=0的点P的个数为（）A4B3C2D0【考点】椭圆的简单性质【分析】根据椭圆a，b，c，可得F，A的坐标，设P（x，y），根据=0和点P在椭圆上，解得即可得到交点个数【解答】解：由题意可知：椭圆（ab0），焦点在x轴上，设P（x，y），则F（c，0），A（a，0），由=（ax，y），=（cx，y），由=0，则（ax）（cx）+y2=0，ac+（ac）x+x2+y2=0
13、，由P在椭圆上，y2=b2（1），ac+（ac）x+x2+b2（1）=0，由b2=ac，（1）x2+（ac）x=0解得：x=0，x=a，当x=0时，y=b，当x=a时，y=0，P为椭圆上不同于A的点，P点的坐标为（0，b）或（0，b），使=0的点P的个数为2个，故选：C二、填空题（每题5分共20分）13离心率为的椭圆C：（ab0），PC，且P到椭圆的两个焦点距离之和为16，则，椭圆C的方程为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：椭圆C：（ab0），焦点在x轴上，F1，F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，则椭圆的离心率e=，解得：c=6，则b
14、2=a2c2=6436=28，即可求得椭圆C的方程【解答】解：由椭圆C：（ab0），焦点在x轴上，F1，F2为椭圆的左右焦点，由椭圆的定义可知：丨PF1丨+丨PF2丨=2a=16，即a=8，由椭圆的离心率e=，解得：c=6，则b2=a2c2=6436=28，椭圆C的方程：，故答案为：14抛物线C：y2=16x，C与直线l：y=x4交于A，B两点，则AB中点到y轴距离为12【考点】抛物线的简单性质【分析】把直线与抛物线的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之和x1+x2，即可求出AB中点到y轴距离【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，消去y得到x224x+
15、16=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=24，AB中点到y轴距离为12，故答案为：1215已知椭圆+=1（ab0），过P（a，0）作圆x2+y2=b2的切线，切点为A，B，若APB=120，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，根据APB=120，得APO=60，由此能够得到a、b的关系，进一步得到椭圆C的离心率【解答】解：如图，APB=120，APO=60，=sin60=，e=故答案为：16已知椭圆，A，B是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上不与A，B重合的一点，PA、PB的倾斜角分别为、，则=【考点】椭圆的简单性质【分析】设P（x0，y0），可得=1，kPAkPB=t
16、antan. = =，即可得出【解答】解：设P（x0，y0），则+=1，=1，则kPAkPB=tantan=故答案为：三、解答题（满分70分，解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17已知椭圆，一组平行直线的斜率是（1）这组直线何时与椭圆相交？（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）设出平行直线的方程：y=x+m，代入椭圆方程，消去y，由判别式大于0，可得m的范围；（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去m，即可得到所求的结论【解答】解：（1）设一组平行直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程，可得9x2+4（x2+
17、3mx+m2）=36，即为18x2+12mx+4m236=0，由判别式大于0，可得144m272（4m236）0，解得3m3，则这组平行直线的纵截距在（3，3），与椭圆相交；（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得18x2+12mx+4m236=0，即有x1+x2=m，截得弦的中点为（m， m），由，消去m，可得y=x则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线y=x上18已知椭圆E： +=1（ab0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为M，且MF1F2为面积是1的等腰直角三角形（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l：y=x+m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值【考点】椭
18、圆的简单性质【分析】（1）由题意可得M，F1，F2的坐标，由等腰直角三角形得a2=1，b=c，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1）B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，可得AB中点坐标，运用弦长公式可得|AB|，AB为直径的圆与y轴相切可得半径r=|AB|=|m|，解方程即可得到m的值【解答】解：（1）由题意可得M（0，b），F1（c，0），F2（c，0），由MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2=1，b=c，且a2b2=c2，解得，则椭圆E的方程为；（2）设A（x1，y1）B（x2，y2）
19、，联立，即有=16m212（2m22）0，即为m，x1+x2=，x1x2=，可得AB中点横坐标为，|AB|=，以AB为直径的圆与y轴相切，可得半径r=|AB|=，即为=，解得m=（，），则m的值为19已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2是椭圆的左，右焦点，直线PF2的斜率为（1）求P点的坐标；（2）求PF1F2的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）将椭圆转化成标准方程：由椭圆的焦点在x轴上，a=10，b=8，c=6，P点的坐标为（x0，y0），代入椭圆方程，由直线的斜率公式可知：，即可求得P点坐标；（2）由PF1F2的面积S=丨F1F2丨丨y0丨，将丨
20、F1F2丨=12，代入即可求得PF1F2的面积【解答】解：（1）由椭圆16x2+25y2=1600，转化成标准方程：，则椭圆的焦点在x轴上，a=10，b=8，c=6，椭圆的焦点坐标为：F1（6，0），F2（6，0），焦距丨F1F2丨=12，设P点的坐标为（x0，y0），由P点在椭圆上，且直线PF2的斜率为则，消去y0，得16+254（x06）2=1600，整理得：1676481225x0+2548361600=0，化简得 19225x0+650=0，解得：x0=5或x0=，当x0=时，y00故舍去把x0=5，代=4入，解得：y0=4，P点的坐标为（5，4），（2）PF1F2的面积S=丨F1F2
21、丨丨y0丨=124=24，PF1F2的面积2420曲线C：y2=12x，直线l：y=k（x4），l与C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（1）求x1x2+y1y2；（2）若，求直线l的方程【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）由，联立消y，利用韦达定理求解即可（2）由（1）知x1+x2=，x1x2=16，利用弦长公式求出直线的斜率，即可求解直线方程【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）由 联立消y得k（x4）2=12x即k2x2（8k2+12）x+16k2=0，x1x2=16y1y2=k（x14）k（x24）=k2x1x24（x
22、1+x2）+16所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x24k2（x1+x2）+16k2=（1+k2）164k2（）+16k2=16+16k232k248+16k2=32 （2）由（1）知x1+x2=，x1x2=16，代入弦长公式得4=即4=，42k4=（12k2+9）（k2+1），即14k4=（4k2+3）（k2+1），整理有10k47k23=0，k2=1，k=1或k=1，直线l方程为y=x4或y=x4 21已知椭圆C： +=1（ab0），圆Q：（x2）2+（y）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，
23、且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求MAB的面积的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围【解答】解：（1）圆Q：（x2）2+（y）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+
24、=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得MAB的面积为24=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x24x+2=0，可得中点M（，），|MP|=，设直线AB的方程为y=x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x24kx4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=，可得MAB的面积为S=4，设t=4+k2（5t4），可得=1，可得S4，且S4=综上可得，MAB的面积的取值范围是（，4）2017年2月14日