1、天津市第一中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题本试卷分为第I卷(选择题)第II卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟.第卷为第I页，第卷为第2-3页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第卷一、选择题：(每小题4分，共32分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（ ）A. B. C. D.2.已知向量，且，则（ ）A. B.8 C.6 D.3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位和平区居
2、民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ）A.7.5 B.8 C.8.5 D.94.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治地理化学生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（ ）A. B. C. D.5.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干朗读亭.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（
3、 ）A. B. C. D.6.2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展.某学校高一年级举办了班级合唱活动.现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分(单位：分，满分100分)，对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）A.B.若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C.学生评分的众数的估计值为85D.学生评分的中位数的估计值为837.的内角的对边分别为则下列说法正确的个数是（ ）若，则若，则有两解若为钝角三角形，则若，则面积的最大值为A.1个 B.2
4、个 C.3个 D.4个8.中，为上一点，为上任一点，若，则的最小值是（ ）A.9 B.10 C.11 D.12第卷二、填空题：(每小题4分，共24分)9.某高校甲乙丙丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为_人.10.某同学进行投篮训练，在甲乙丙三个不同的位置投中的概率分别，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则的值为_.11.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为_.12.已知边长为4的正方形中，与交于
5、点，且分别是线段和线段的中点，则_.13.如图在三棱锥中，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_.14.如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，球是三棱锥的外接球，则球的表面积是_.三.解答题：(本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.在中，角的对边分别为，已知（1）求的值；（2）若，求的面积.16.如图，在四棱锥中，底面四边形满足，且为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求证：平面平面.17.天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方
6、图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分.（2）已知样本中成绩在140，150内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，写出这个试验的样本空间；(用恰当的符号表达)设事件A：”选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A的样本点，并求事件A发生的概率.18.如图，在三棱柱中，平面分别是的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.【答案】B【分析】根据复数除法的运算性质以
7、及复数模长的计算公式代入化简求解.【详解】由题意，则故选：B.2.【答案】B【解析】因为向量，所以，又，所以，所以.故选B.3.C4.【答案】D【分析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.【详解】从4门学科中任选2门共有：政治+地理政治+化学政治+生物地理+化学地理+生物化学+生物，共6种情况，其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为.故选：D5.【答案】D【解析】设正六棱柱底面边长为a，由题意可知正六棱柱的高为2a，则可知正六棱柱的侧面积为.设正六棱锥的高为，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为上的高为，所以正六棱锥的侧面积为，由题意有，所以六棱
8、锥与正六棱柱的高的比值为.故选D.6.【答案】D【分析】对A，由频率之和为1可得；对B，根据频率分布直方图直接计算；对C，由最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数可得；对D，先判断出中位数在内，列出式子可求.【详解】对于A，由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，知，解得，A正确；对于B，由频率分布直方图易知，估计参与评分的3000名学生中，评分超过90分的人数为，B正确；对于C，由频率分布直方图可知，众数的估计值为85，C正确；对于D，前三组频率之和为，前四组频率之和为，则中位数在内，设学生评分的中位数的估计值为x，则，解得，D错误.故选：D.【点睛】频率分布直方图中的常用结论：
9、（1）频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布直方图中最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数；（3）平分频率分布直方图中小矩形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是样本数据的中位数；（4）频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和是样本数据的平均数.7.【答案】C【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误.【详解】对于选项，若，则，由正弦定理可得，所以，选项正确；对于B选项，则，所以，有两解，
10、选项正确；对于选项，若为钝角三角形且为钝角，则，可得选项错误对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得，即，当且仅当时，等号成立，所以，D选项正确.故选：C.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.8.【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定m，n的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知，三点共线，则，据此有：当且仅当时等号成立.综上可得的最小值是12本题选择选项.9.【答案】16【解析】因为高校甲乙
11、丙丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是，因为丙专业有400人，所以要抽取人.10.【答案】【分析】在甲乙丙处投中分别记为事件，恰好投中两次为事件，发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.【详解】在甲乙丙处投中分别记为事件，恰好投中两次为事件发生，故恰好投中两次的概率，解得.故答案为【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.11.【答案】【分析】利用方差公式可求得结果.【详解】设原数据为，则加入2和6两
12、个新数据后，所得8个数据的平均数为，所得8个数据的方差为.故选：.12.【答案】以为坐标原点，所在直线为轴建系，则13.14.C15.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理化简得，又由，化简得，即可求得的值；（2）在中，由余弦定理，列出关于方程，求得，再利用三角形的面积公式，即可求解【详解】（1）由题意，知，由正弦定理可得，整理得，即，又因为，则，所以，即，又因为，所以，解得.（2）在中，由余弦定理可得，因为，所以12，解得，所以，则三角形的面积.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信
13、息，合理应用正弦定理和余弦定理李额方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取的中点，连结，推导出四边形是平行四边形，得到，由线面平行的判定定理，即可证明平面.（2）由面面垂直的性质定理可证平面，得到平面，由面面垂直的判定定理，可证明平面平面.【详解】证明（1）取的中点，连接.因为是的中点，所以为的中位线，所以.又因为/，所以所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以/平面.（2）因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.平面.又因为为的中点，所以，平面平面，且，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛
14、】本题考查线面平行面面垂直的证明，考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17.（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：，成绩不低于120分的频率为：；所以高三年级不低于120分的人数为：人.（2）由频率分布直方图知，成绩在140，150的人数是6，记女生为，B，男生为，从这6人中抽取2人的情况有，共15种.其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为.18.（1）证明：取的中点，连接，交于点，可知为的中点，连接，易知四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）分别以所在的直线为轴轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得，则，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）假设在棱是存在一点，设，可得，由，可得，设平面的法向量为，则，即，令，可得，即，又由平面的一个法向量为，所以，因为平面与平面所成二面角为，可得，解得，此时，符合题意，所以在棱上存在一点，使得平面与平面所成二面角为.
