1、2016-2017学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1已知集合A=x|x22x30，B=x|y=log2（x1），则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）2欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x1234y4.5432.5根据表，利用最小二乘法得
2、到它的回归直线方程为（）Ay=0.7x+5.20By=0.7x+4.25Cy=0.7x+6.25Dy=0.7x+5.254执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D55设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A10B8CD6若曲线y=a（x1）lnx在x=2处的切线垂直于直线y=2x+2，则a=（）A4B3C2D17若=，则sin（+）的值为（）ABCD8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A40cm3B30cm3C20cm3D10cm39将号码分别为1、2、3、4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球
3、，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a2b2成立的事件发生的概率等于（）ABCD10函数f（x）=的图象大致是（）ABCD11已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则|AB|=（）A3B6C8D112设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A4026B4028C4030D4032二、填空题13已知向量、满足|=5，|=3， =3，则在的方向上的投影是14已知等比数列an前n项和为Sn，且S3=8，S6=9，则公比q=15已知函数f（x）=cos2x，若将其图象沿x轴向左平移a个单位（a
4、0），所得图线关于原点对称，则实数a的最小值为16已知正四棱锥的底面边长为，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为三、解答题17（12分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且asinC=c（1+cosA）（1）求角A；（2）若a2=163bc，且SABC=，求b，c的值18（12分）一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个型号甲样式乙样式丙样式500ml2000z3000700ml300045005000（1）求z的值； （2）用分层
5、抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500mL杯子的概率19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC=4，点M为PC中点（1）求证：平面ADM平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离20（12分）已知点A、B分别是左焦点为（4，0）的椭圆C： +=1（ab0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，
6、说明理由21（12分）已知函数f（x）=mlnx+（42m）x+（mR）（1）当m=2时，求函数f（x）的极值；（2）设t，s1，3，不等式|f（t）f（s）|（a+ln3）（2m）2ln3对任意的m（4，6）恒成立，求实数a的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）已知直线l：（t为参数，为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：26cos+5=0（1）若直线l与曲线C相切，求的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围选修4-5：不等式选讲23已知正实数a、b满足：a2+b2=2（1）求的最小值m；（2）设函数f（
7、x）=|xt|+|x+|（t0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由2016-2017学年广东省潮州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合A=x|x22x30，B=x|y=log2（x1），则（RA）B=（）A（1，3）B（1，3）C（3，5）D（1，5）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x22x30=x|x3或x1，B=x|y=log2（x1）=x|x10=x|x1，则RA=x|1x3，则（RA）B=x|1x3，故选A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求
8、出集合的等价条件是解决本题的关键2欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】e=cos+isin，化简即可得出【解答】解：e=cos+isin=i，此复数在复平面中对应的点位于位于第二象限，故选：B【点评】本题考查了复数的三角形式、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3对具
9、有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下x1234y4.5432.5根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（）Ay=0.7x+5.20By=0.7x+4.25Cy=0.7x+6.25Dy=0.7x+5.25【考点】线性回归方程【分析】由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得结论【解答】解：由表可得样本中心为（2.5，3.5），代入检验可得y=0.7x+5.25故选D【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一4执行如图所示的程序，则输出的i的值为（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每
10、次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S1，退出循环，输出i的值为4【解答】解：模拟执行程序，可得S=10，i=0执行一次循环体后，i=1，S=9不满足条件S1，再次执行循环体后，i=2，S=7不满足条件S1，再次执行循环体后，i=3，S=4不满足条件S1，再次执行循环体后，i=4，S=0满足条件S1，退出循环，输出i的值为4故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题5设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A10B8CD【考点】简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可【解答】解
11、：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10故选：A【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力6若曲线y=a（x1）lnx在x=2处的切线垂直于直线y=2x+2，则a=（）A4B3C2D1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，利用x=2处的切线垂直于直线y=2x+2，列出方程求解即可【解答】解：由y=a（x1）lnx，求导得f（x）=a，依题意曲线y=a（x1）lnx在x=2处的切线垂直于直线y=2x+2，得，a，即a=1故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用
12、，考查转化思想以及计算能力7若=，则sin（+）的值为（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式化简即可得解【解答】解： =（cos+sin）=sin（+）=，sin（+）=故选：C【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题8若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A40cm3B30cm3C20cm3D10cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，分别计算
13、体积，相减可得答案【解答】解：由已知中的三视图可知，几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥，棱柱和棱锥的底面面积S=43=6cm2，棱柱和棱锥高h=5cm，故组合体的体积V=345345=20cm3，故选：C【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档9将号码分别为1、2、3、4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则使不等式a2b2成立的事件发生的概率等于（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】基本事件总数n=44=16，再用列举法求出使不等式a
14、2b2成立的基本事件个数，由此能求出使不等式a2b2成立的事件发生的概率【解答】解：将号码分别为1、2、3、4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后，乙从此袋再摸出一个球，其号码为b，则基本事件总数n=44=16，要使不等式a2b2成立，则当a=1时，b=1；当a=2时，b=1；当a=3时，b=1，2；当a=4时，b=1，2故满足a2b1的基本事件共有m=6个，使不等式a2b2成立的事件发生的概率为p=故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用10函数f（x）=的图象大致是（）ABCD【考点】函数的
15、图象【分析】根据函数的性质，选择与之匹配的选项【解答】解：当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0B、C、D三项均不符，只有A项相符故选：A【点评】本题考查函数的性质与识图能力，一般先观察四个选项的区别，再研究函数的对应性质，排除三个错误选项11已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则|AB|=（）A3B6C8D1【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质【分析】写出直线方程代入抛物线方程利用韦达定理以及抛物线的性质，求解写出|AB|即可【解答】解：直线的方程为y=x1，代入y2=4x，整理得x26x+1=0，故x1+x2=6，所以，|
16、AB|=x1+x2+p=6+2=8故选：C【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，弦长公式的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力12设数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，若是等差数列，则=（）A4026B4028C4030D4032【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得q=1，进而得到所求和【解答】解：数列an是首项为1，公比为q（q1）的等比数列，可得an=qn1，由是等差数列，即为常数，可得q=1，即an=1， =1，即有=22014=4028故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于
17、中档题二、填空题13已知向量、满足|=5，|=3， =3，则在的方向上的投影是1【考点】平面向量数量积的运算【分析】则在的方向上的投影是，代入数值计算即可【解答】解：由向量、满足|=5，|=3， =3则在的方向上的投影是=1，故答案为：1【点评】本题考查向量投影的求法，属基础题14已知等比数列an前n项和为Sn，且S3=8，S6=9，则公比q=【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列前n项和公式直接求解【解答】解：等比数列an前n项和为Sn，且S3=8，S6=9，依题意， =1+q3=，解得q=故答案为：【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质
18、的合理运用15已知函数f（x）=cos2x，若将其图象沿x轴向左平移a个单位（a0），所得图线关于原点对称，则实数a的最小值为【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的对称性可得结论【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象沿x轴向左平移a个单位（a0），所得函数解析式为：y=cos（2x+2a），由于所得图象关于原点对称，所以：2a=k+，kZ，解得：a=+，kZ，a0，所以：实数a的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题16已知正四棱锥的底面边长为，高为1，则
19、这个正四棱锥的外接球的表面积为4【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】由已知可得，外接球球心正好是底面正方形对角线的交点，根据球的表面积公式解之即可【解答】解：由已知可得，外接球球心正好是底面正方形对角线的交点，故r=1，从而S=4r2=4故答案为4【点评】本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题三、解答题17（12分）（2016秋潮州期末）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且asinC=c（1+cosA）（1）求角A；（2）若a2=163bc，且SABC=，求b，c的值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由正
20、弦定理，两角差的正弦函数公式化简已知可得sin（A）=，由0A，得A，利用特殊角的三角函数值可求A的值 （2）由已知及余弦定理可求b+c=4，又利用三角形面积公式可求bc=4，联立即可解得b，c的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）asinC=c（1+cosA），由正弦定理得sinAsinC=sinC（1+cosA） （2分）sinAcosA=1，故sinAcosA=，所以sin（A）=由0A，得A，故A=A=； （2）在ABC中，a2=b2+c22bccosA，故163bc=b2+c2bc（b+c）2=16，故b+c=4 （9分）又SABC=bcsinA=bc=，bc=4（11分）联立式
21、解得b=c=2（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12分）（2015烟台二模）一工厂生产甲，乙，丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个型号甲样式乙样式丙样式500ml2000z3000700ml300045005000（1）求z的值； （2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个5
22、00mL杯子的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；用样本的频率分布估计总体分布【分析】（1）根据分层抽样的规则计算出总体容量，即可算得z值（2）算出两种杯子在样本中的数量，用列举法列举出所有的基本事件及事件所包含的基本事件数，由公式求出概率即可【解答】解：（1）设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个，在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得，所以x=40（2分）则1004025=35，所以，n=7000，故z=2500（2）设所抽样本中有m个500ml杯子，因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2（9分）也就是抽取了2个500ml杯子，3个700ml杯子，
23、分别记作S1，S2；B1，B2，B3，则从中任取2个的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3） （S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（ （S1，S2），所以从中任取2个，至少有1个500ml杯子的概率为（12分）【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的重点是列举出基本事件的个数及事件包含的基本事件数，列举时要做到不重不漏
24、19（12分）（2015长春二模）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC=4，点M为PC中点（1）求证：平面ADM平面PBC；（2）求点P到平面ADM的距离【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定【分析】（1）取PB中点N，连结MN、AN，证明四边形ADMN为平行四边形，AN平面PBC，可得平面ADM平面PBC；（2）PN平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，即可求点P到平面ADM的距离【解答】解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，则M是PC中点，又BCAD，MNAD，MN=AD，四边形ADMN为平行四
25、边形，APAD，ABAD，AD平面PAB，ADAN，ANMN，AP=AB，ANPB，AN平面PBC，AN平面ADM，平面ADM平面PBC（2）由（1）知，PNAN，PNAD，PN平面ADM，即点P到平面ADM的距离为PN，在RtPAB中，由PA=AB=2，得，【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、点到平面的距离等问题20（12分）（2016秋潮州期末）已知点A、B分别是左焦点为（4，0）的椭圆C： +=1（ab0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求
26、出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题设知a2=b2+16， +=1，由此能求出椭圆C的标准方程（2）由A（6，0），F（4，0），（，），则得=（，），=（，），所以=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（1，0），则显然PQPM，由此能求出所求的图形面积【解答】解：（1）由题意a2=b2+16，+=1，解得b2=20或b2=15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为=1（2）由（1）知A（6，0），F（4，0
27、），又（，），则得=（，），=（，）所以=0，即APF=90，APF是Rt，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（1，0），则显然PQPM，而kPM=，所以PQ的斜率为，因此，过P点引圆M的切线方程为：y=（x），即x+y9=0令y=0，则x=9，Q（9，0），又M（1，0），所以S扇形MPF=，因此，所求的图形面积是S=SPQMS扇形MPF=【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化21（12分）（2016秋潮州期末）已知函数f（x）=mlnx+（42m）x+（mR）（
28、1）当m=2时，求函数f（x）的极值；（2）设t，s1，3，不等式|f（t）f（s）|（a+ln3）（2m）2ln3对任意的m（4，6）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题等价于对任意的m（4，6），恒有（a+ln3）（2m）2ln352mmln312+6m成立，即（2m）a4（2m），根据m2，分离a，从而求出a的范围即可【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+），m=2时，f（x）=2lnx+，f（x）=，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：
29、0x，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，故f（x）的极小值是f（）=22ln2，无极大值；（2）f（x）=，令f（x）=0，得x1=，x2=，m（4，6）时，函数f（x）在1，3递减，x1，3时，f（x）max=f（1）=52m，f（x）min=f（3）=mln3+126m，问题等价于：对任意的m（4，6），恒有（a+ln3）（2m）2ln352mmln312+6m成立，即（2m）a4（2m），m2，则a4，a（4）min，设m4，6），则m=4时，4取得最小值，故a的范围是（，【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合
30、题选修4-4：坐标系与参数方程选讲22（10分）（2016秋潮州期末）已知直线l：（t为参数，为l的倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C为：26cos+5=0（1）若直线l与曲线C相切，求的值；（2）设曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），求x+y的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）求出圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程，利用直线l与曲线C相切，列出关系式，即可求的值；（2）曲线C上任意一点的直角坐标为（x，y），通过圆的参数方程，得到x+y的表达式，利用三角函数化简，即可求解取值范围【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程
31、为x2+y26x+5=0即（x3）2+y2=4曲线C为圆心为（3，0），半径为2的圆直线l的方程为：xsinycos+sin=0直线l与曲线C相切即0，）=（2）设x=3+2cos，y=2sin则 x+y=3+2cos+2sin=（9分）x+y的取值范围是（10分）【点评】本题考查直线与圆的参数方程以及极坐标方程的应用，直线与圆的位置关系，三角函数的化简求值，考查计算能力选修4-5：不等式选讲23（2016岳阳校级一模）已知正实数a、b满足：a2+b2=2（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|xt|+|x+|（t0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=成立，说明理由【考点】基本不等式【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用绝对值形式的三角不等式的性质即可得出【解答】解：（1）2=a2+b22ab，即，又2，当且仅当a=b时取等号m=2（2）函数f（x）=|xt|+|x+|2=1，满足条件的实数x不存在【点评】本题考查了基本不等式的性质、绝对值形式的三角不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题