1、课时跟踪检测（三） 空间向量基本定理A级基础巩固1已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的是()A BC D或解析：选C(ab)，与a，b共面，a，b，不能构成空间基底2若向量，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，成为空间一组基底的关系的是()ABCD2解析：选CA中，因为1，所以M，A，B，C共面；B中，但可能，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为2，所以M，A，B，C四点共面故选C.3在空间四点O，A，B，C中，若，是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()AO，A，B，C四点不共线B
2、O，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点不共面DO，A，B，C四点中任意三点不共线解析：选B选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，构不成基底；选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，构不成基底4四面体OABC中，a，b，c，点M在OA上，且2，N为BC中点，则为()A.abcB.abcC.abcD.abc解析：选B()abc.5正方体ABCDABCD中，O1，O2，O3分别是AC，AB，AD的中点，以，为基底，xyz，则x，y，z的值是
3、()Axyz1BxyzCxyzDxyz2解析：选A()()()，由空间向量基本定理，得xyz1.6若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是_解析：若x0，则abc，即a与b，c共面由a，b，c是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x0，同理yz0.答案：xyz07已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxayb2c，若m与n共线，则x_；y_.解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxayb2c，于是有解得答案：228在正方体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，A1C1与B1D1的交点为E，则_.解析：如图，()()a
4、bc.答案：abc9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解：(1)如图，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，x，y，z1.10.如图所示，已知四面体ABCD的各棱和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点(1)求证MNAB，MNCD；(2)求MN的长解：(1)证明：设p，q，r，由题意可知，|p|q|r|a，且p，q，r三向量的两两夹角均为60.()(qrp)，(qrp)p(pqprp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0，即MNAB，
5、同理可证MNCD.(2)由(1)可知(qrp)，|2(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2，|MN|a，MN的长为a.B级综合运用11给出下列命题：若a，b，c可以作为空间的一个基底，d与c共线，d0，则a，b，d也可以作为空间的一个基底；已知向量ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；A，B，M，N是空间四点，若，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；已知a，b，c是空间的一个基底，若mac，则a，b，m也是空间的一个基底其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底显然正确中由，不能构成空
6、间的一个基底，知，共面又，过相同点B，知A，B，M，N四点共面下面证明正确：假设d与a，b共面，则存在实数，使得dab，d与c共线，c0，存在实数k，使得dkc.d0，k0，从而cab，c与a，b共面，与条件矛盾，d与a，b不共面同理可证也是正确的于是四个命题都正确，故选D.12若ae1e2，be2e3，ce1e3，de12e23e3，若e1，e2，e3不共面，当d a b c时，_.解析：由已知d()e1()e2()e3.所以故有3.答案：313如图，在四面体ABCD中，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.解析：如图，连接AG延长线交BC于点M，连接AE，则()(
7、).答案： 14.如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设a，b，c.(1)用a，b，c分别表示向量，；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值解：(1)()()()(ac)(bc)(ab2c)，()()(ab)b(a2b)(2)设正四面体的棱长为1，即|a|b|c|1且a，bb，cc，a，则|.又(ab2c)(a2b)(a2ab2ac2ab2b24bc)，cos，异面直线DM与CN所成角的余弦值为.C级拓展探究15.在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC底面ABCD，F为BE的中点(1)求证：DE平面ACF；(2)求证：BDAE；(3)若AB
8、CE，在线段EO上是否存在点G，使CG平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：设a，b，c，则|a|b|，abbcca0.(1)证明：依题意得cb，ab，ac，设xy (x，yR)，则cbx(ab)yaxbyc，因此解得从而，共面，又直线DE不在平面ACF内，因此DE平面ACF.(2)证明：依题意得ba，cab，则(ba)(cab)b2a20，因此，从而BDAE.(3)由ABCE，设|a|b|2，则|c|，假设在线段EO上存在点G，使CG平面BDE，由O，G，E三点共线，设(1)ab(1)c(01)，由CG平面BDE知CGDE，而cb，因此(cb)(1)c2b2240，解得，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时.7