1、第3讲不等式选讲1. 解不等式2.2. (2012江苏卷)已知实数x,y满足|x+y|,|2x-y|,求证:|y|.3. (2013常州期末)设f(x)=x2-x+14,且|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2(|a|+1).4. (2013南京三校联考)已知a为整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.5. 已知两正数x,y满足x+y=1,求z=x+y+的最小值.6. (2012无锡模拟)若关于x的不等式|x+2|+|x-1|a的解集为R,求实数a的取值范围.7. (2013玉溪模拟)(1) 已知关于x的不等式2x+7在x(a,+)上恒成立,求实数a的最小值;(2) 已知|x|1,|y|x-
2、y|.8. 若a0,b0,且+=1,求a+2b的最小值.9. (2013徐州模拟)已知a,b,c为正数,且满足acos2+bsin2c,求证:cos2+sin2.10. (2013海安模拟改编)在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(nN*).(1) 求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论;(2) 求证:+.【高考押题】11. 已知实数x,y,z满足x+y+z=2,求2x2+3y2+z2的最小值.第3讲不等式选讲1. 2-2x2-220x24-2x0或0x2,所以解集为(-2,0)
3、(0,2).2. 因为3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|2+,由题设|x+y|,|2x-y|,所以3|y|+=,所以|y|.3. 由题知|f(x)-f(a)|=|x2-a2+a-x|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|x+a-1|x+a-1|=|(x-a)+2a-1|x-a|+|2a|+1|2a|+2=2(|a|+1),即得证.4. 假设a是奇数,设a=2k+1(kZ),则a2=4k2+4k+1,因为kZ,所以4k2为偶数,4k为偶数,所以4k2+4k+1为奇数,从而a2为奇数,这与a2为偶数矛盾,所以假设不成立,故a为偶数.5. z=xy+=xy+=+xy-2.令t=x
4、y,则00,所以|1-xy|x-y|.8. 因为a0,b0,且+=1,所以2a+4b+3=(2a+4b+3)+=4+2+4,当且仅当a=,b=时取等号,所以a+2b的最小值为.9. 由柯西不等式,得cos2+sin210. (1) 由题意得2bn=an+an+1,=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明:当n=1时,由已知可得结论成立.假设当n=k时结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.(2) 当n=1时,=2(n+1)n.故+=+=+=,综上,原不等式成立.11. 由柯西不等式,(x+y+z)22+2+12,因为x+y+z=2,所以2x2+3y2+z2,当且仅当=,即x=,y=,z=时,等号成立,所以2x2+3y2+z2的最小值为.
