1、第3章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆的标准方程基础过关练题组一椭圆的定义及应用1.(2020江苏南京师范大学、苏州实验学校高二上学期9月月考)平面内有定点A,B及动点P,则“PA+PB为定值”是“P点的轨迹为椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.(2020江苏淮安高中校协作体高二上学期期中)椭圆x2m+y24=1的焦距为2,则m的值为()A.5B.3C.5或3D.83.(2020江苏南京秦淮中学高二上学期第一次段考)已知椭圆x225+y216=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.74.(
2、2020江苏无锡青山高级中学高二上学期期中)点F1、F2分别为椭圆x216+y27=1左、右两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点,则ABF2的周长为()A.32B.16C.8D.4题组二求椭圆的标准方程5.(2021江苏镇江中学高二上学期期初考试)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴的交点为B,若BF2=F1F2=2,则该椭圆的方程为()A.x24+y23=1B.x23+y2=1C.x22+y2=1D.x24+y2=16.(2021江苏无锡江阴二中、要塞中学等四校高二上学期期中)过点(-3,2)且与椭圆C:x29+y24=1有相同焦点的椭圆E的方
3、程是()A.x215+y210=1B.x2225+y2100=1C.x210+y215=1D.x2100+y2225=17.已知点M(4,0),N(1,0),若动点P满足MNMP=6|NP|,则动点P的轨迹C的方程为.题组三椭圆标准方程的应用8.(2020江苏扬州邗江高二上学期期中)“4k10”是“方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.(2020江苏苏州中学园区高三上学期8月期初调研)若方程x2m+y24-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是()A.m2B.0m2C.2m210.(
4、2021江苏南通如皋高二上学期教学质量调研)当0,2时,方程x2sin +y2cos =1表示焦点在x轴上的椭圆,则的取值范围为.11.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1=4,则F1PF2=.题组四直线与椭圆的位置关系12.(2020江苏镇江中学高二上学期第一次月考)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为()A.2B.0或1C.1D.013.(2020江苏南京六合大厂高级中学高二上学期10月学情调研)直线x+4y+m=0交椭圆x216+y2=1于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为
5、1,则m=()A.-2B.-1C.1D.214.(2020江苏盐城响水中学高二上学期期中)已知椭圆C:x22+y2=1,过右焦点的直线l:y=x-1与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则AOB的面积为.能力提升练题组一椭圆的定义与标准方程及其应用1. (2021江苏南通平潮高级中学高二上学期期中,)设F1,F2是椭圆C:x212+y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在椭圆C上且OP=3,则PF1F2的面积为()A.3B.6C.23D.2152.(2020江苏南通启东中学高二上学期期中,)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1
6、上,则sinA+sinCsin(A+C)=()A.43B.53C.45D.543.()已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若AF2=2F2B,AB=BF1,则椭圆C的标准方程为()A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=14.(多选)(2020江苏南通如皋高二上学期教学质量调研,)设F1,F2分别为椭圆C:x216+y27=1的左、右焦点,M为椭圆C上一点且在第一象限,若MF1F2为等腰三角形,则下列结论正确的是()A.MF1=2B.MF2=2C.点M的横坐标为83D.SMF1F2=355.(多选)
7、(2020山东潍坊中学高二期中,)已知P是椭圆x29+y24=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cosF1PF2=13,则下列结论正确的是()A.PF1F2的周长为12B.SPF1F2=22C.点P到x轴的距离为2105D.PF1PF2=26.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,F1F2=23,P是椭圆C上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且PF1PF214,求点P的横坐标的取值范围.题组二直线与椭圆的位置关系7.(2021黑龙江哈尔滨第六中学高二上学期期中,)经过椭圆x22+y2=1的一个焦点
8、作倾斜角为45的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OAOB等于()A.-3B.-13C.-13或-3D.138.(2019江苏泰州中学高二上期末,)已知椭圆C:x216+y212=1,过点P(0,6)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若A是线段PB的中点,则点A的坐标为.9.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,52)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的标准方程为.10.()已知P(m,n)(m0,n0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.(1)求四边形PQRS面积的最大值;
9、(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.答案全解全析基础过关练1.B根据椭圆的定义知PA+PB为定值,且PA+PBAB,则P点的轨迹为椭圆,所以“PA+PB为定值”不能推出“P点的轨迹为椭圆”,但“P点的轨迹为椭圆”能推出“PA+PB为定值”,故“PA+PB为定值”是“P点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件,故选B.2.C由题意知椭圆焦距为2,即c=1.当焦点在x轴上时,a2=m,b2=4,m-4=1,即m=5;当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,4-m=1,即m=3.m的值为5或
10、3.故选C.3.B根据椭圆的定义可知,P到两个焦点的距离之和为2a=25=10,所以P到另一个焦点的距离为10-7=3.故选B.4.B由x216+y27=1得a=4,由椭圆的定义得AF1+AF2=BF1+BF2=2a,所以ABF2的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=16,故选B.5.A因为BF2=F1F2=2,所以a=2,c=1,由a2=b2+c2可得b2=3,所以所求椭圆的方程是x24+y23=1.故选A.6.A由题意得椭圆C的焦点坐标为(5,0),(-5,0),c=5.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),把点(-3,2)代入,得9a2+4b2
11、=1,椭圆C与椭圆E有相同的焦点,a2-b2=5,由得a2=15,b2=10,椭圆E的方程为x215+y210=1,故选A.7.答案x24+y23=1解析设P(x,y),则MN=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y).由题意可得-3(x-4)=6(x-1)2+y2,化简得3x2+4y2=12,即x24+y23=1,动点P的轨迹C的方程为x24+y23=1.8.B方程x2k-4+y210-k=1表示焦点在x轴上的椭圆,k-40,10-k0,k-410-k,解得7k10,故“4k0,4-m0,4-mmm0,m4,m2,解得0m0,1cos0,又方程x2sin +y2cos =1表
12、示焦点在x轴上的椭圆,所以1sin1cos,即cos sin ,故0, 4.11.答案120解析由椭圆的标准方程知a2=9,b2=2,a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,F1F2=27.PF1=4,PF2=2a-PF1=2.cosF1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=42+22-(27)2242=-12,又0F1PF22,0m2+n24,点P(m,n)在以原点为圆心,半径为2的圆内,又m29+n24m24+n240),则AF2=2x,AB=BF1=3x,AF1=4a-(AB+BF1)=4a-6x,由椭圆的定义知BF1+BF2=2a=4x,所以AF1=2x.在BF
13、1F2中,由余弦定理得BF12=F2B2+F1F22-2F2BF1F2cosBF2F1,即9x2=x2+22-4xcosBF2F1,在AF1F2中,由余弦定理可得AF12=AF22+F1F22-2AF2F1F2cosAF2F1,即4x2=4x2+22+8xcosBF2F1,由得x=32,所以2a=4x=23,所以a=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.4.BCD因为椭圆C:x216+y27=1,所以a=4,b=7,c=3,因为M为椭圆C上一点且在第一象限,MF1F2为等腰三角形,所以MF1MF2,MF1=F1F2=2c=6,MF2=2,在MF1F2中
14、,由余弦定理得cosMF1F2=MF12+F1F22-MF222MF1F1F2=62+62-22266=1718,所以点M的横坐标为MF1cosMF1F2-c=61718-3=83,sinMF1F2=1-17182=3518,所以SMF1F2=12MF1F1F2sinMF1F2=12663518=35,故选BCD.5. BCD由椭圆方程知a=3,b=2,所以c=5,所以PF1+PF2=6,于是PF1F2的周长为2a+2c=6+25,故A选项错误;在PF1F2中,由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cosF1PF2=(PF1+PF2)2-2PF1PF2-2PF1PF2co
15、sF1PF2,即20=36-2PF1PF2-23PF1PF2,解得PF1PF2=6,故SPF1F2=12PF1PF2sinF1PF2=126223=22,故B选项正确;设点P到x轴的距离为d,则SPF1F2=12F1F2d=1225d=22,所以d=2105,故C选项正确;PF1PF2=|PF1|PF2|cosF1PF2=613=2,故D选项正确.6.解析(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,F1F2=23, 2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设P(x
16、,y)(x0,y0),c=3,令F1(-3,0),F2(3,0),PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),PF1PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3, 又x24+y2=1,即y2=1-x24,PF1PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-8)14, 解得-3x3, x0,0b0),则a2=b2+c2=b2+50.设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.易得x1
17、+x2=212=1,y1+y2=2-12=-1,y1-y2x1-x2=3,b23(-1)+a21=0,即a2=3b2.联立得,a2=75,b2=25.故该椭圆的标准方程为y275+x225=1.10.解析(1)由P在椭圆上得m28+n22=1,m0,n0,利用基本不等式得1=m28+n222m8n2=mn2,当且仅当m28=n22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S四边形PQRS=2m2n=4mn8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2t2,A(x1,y1),B(x2,y2),则有x128+y122=1,x228+y222=1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)8=-(y1-y2)(y1+y2)2(*),M为线段AB的中点,x1+x22=t,y1+y22=1,(*)化为(x1-x2)t4=-(y1-y2),k=-t4,故k-12,12.