1、2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生240人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A7B8C9D103甲、乙两人各自独立随机地从区间0，1任取一数，分别记为x、y，则x2+y21的概率P=（
2、）ABCD14执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A4B5C6D75把5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片混合，再将其任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是（）A0.2B0.4C0.6D0.86若方程=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（）Ak1B1k3Ck3Dk1或k37甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A，甲比乙成绩稳定B，乙比甲成绩稳定C，甲比乙成绩稳定D，乙比甲成绩稳定8如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底
3、面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）ABCD9设直线l：（t为参数），曲线C1：（为参数），直线l与曲线C1交于A，B两点，则|AB|=（）A2B1CD10对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D若变量y和x之间的相关系数为r=0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系11已知抛物线的方程为y2=
4、8x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若SAOF=SBOF（O为坐标原点），则|AB|=（）AB8CD412椭圆C： +=1（ab0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一l二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13命题“x0，都有sinx1”的否定：14四进制数 123（4）化为十进制数为15己知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是16在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1A1C有下列条件：AB=AC=BC；ABAC；AB=AC
5、其中能成为BC1AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）三、解答题：共6道小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设命题p：实数x满足（x4a）（xa）0，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围18（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=，求抛物线的标准方程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，），（，），求双曲线的标准方程19已知直线l的方程为sin（+）=，圆C的方程为（为参数）（1）把直线l和圆C的方程化为普通方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值20从某学
6、校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组160，165）；第八组190，195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同（I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5的事件概率21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：PABD；（）若PD=
7、AD，求二面角APBC的余弦值22已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中友好学校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若aR，则“a=2”是“（a2）（a+4）=0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
8、【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，【解答】解：若a=2，则（a2）（a+4）=0，是充分条件，若（a2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题2某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生240人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（）A7B8C9D10【考点】简单随机抽样【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学
9、生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高三学生被抽到的人数【解答】解：由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7，可以做出每=30人抽取一个人，从高三学生中抽取的人数应为=8故选：B【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样3甲、乙两人各自独立随机地从区间0，1任取一数，分别记为x、y，则x2+y21的概率P=（）ABCD1【考点】几何概型【专题】数形结合；定义法；概率与统计【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x，y0，
10、1的平面区域为边长为1的正方形，符合条件x2+y21的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形外部，则扇形面积与正方形面积的比为概率【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x，y0，1的平面区域为边长为1的正方形OABC，符合条件x2+y21的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形OAC外部，则对应的面积S=1=1，则对应的概率P=1，故选：D【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应的面积是解决本题的关键4执行如图所示的程序框图，输出的k值是（）A4B5C6D7【考点】循环结构【专题】计算题【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
11、计算并输出k的值【解答】解：第一次循环：n=35+1=16，k=0+1=1，继续循环；第二次循环：n=8，k=1+1=2，继续循环；第三次循环：n=4，k=2+1=3，继续循环；第四次循环：n=2，k=3+1=4，继续循环；第五次循环：n=1，k=4+1=5，结束循环输出k=5故选B【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5把5张分别写有
12、数字1，2，3，4，5的卡片混合，再将其任意排成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是（）A0.2B0.4C0.6D0.8【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】对应思想；分析法；概率与统计【分析】能被2或5整除的数字，个位数必须是2或4或5，只需考虑个位数字即可【解答】解：将5个数字任意排成一行，个位数字共有1，2，3，4，5五种情况，而能被2或5整除的数字个位数共有2，4，5三种情况，P=0.6故选：C【点评】本题考查了排列组合在概率中的应用，属于基础题6若方程=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（）Ak1B1k3Ck3Dk1或k3【考点】双曲线的标准方程【专题】计算题；分类讨论；圆锥曲线
13、的定义、性质与方程【分析】讨论双曲线的焦点位置，得到不等式，分别解出它们，再求并即可【解答】解：若方程=1表示焦点在x轴上的双曲线，则3k0，且k10，解得1k3；若方程=1表示焦点在y轴上的双曲线，则3k0，且k10，解得k综上可得，1k3故选B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题7甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A，甲比乙成绩稳定B，乙比甲成绩稳定C，甲比乙成绩稳定D，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图；
14、众数、中位数、平均数【专题】概率与统计【分析】由茎叶图可得原式数据，可得各自的平均值和方差，比较可得结论【解答】解：由题意可知甲的成绩为：72，77，78，86，92，乙的成绩为：78，88，88，90，91，=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，= （7281）2+（7781）2+（7881）2+（8681）2+（9281）27.94，= （7887）2+（8887）2+（8887）2+（9087）2+（9187）25.20，且，乙比甲成绩稳定故选：B【点评】本题考查茎叶图，考查平均值和方差，属基础题8如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1
15、D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：取BC的中点G连接GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则OEH为异面直线所成的角在OEH中，OE=，HE=，OH=由余弦定理，可得cosOEH=故选B【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题9设直线l：（t为参数），曲线C1：（为参数），直线l与曲线C1交
16、于A，B两点，则|AB|=（）A2B1CD【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】由曲线C1：（为参数），利用cos2+sin2=1即可化为直角坐标方程直线l：（t为参数），消去参数化为=0求出圆心C1（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出【解答】解：由曲线C1：（为参数），化为x2+y2=1，直线l：（t为参数），消去参数化为y=（x1），即=0圆心C1（0，0）到直线l的距离d=|AB|=2=1故选：B【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10对两个变量y和x进行回归分析，得
17、到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），则下列说法中不正确的是（）A由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好D若变量y和x之间的相关系数为r=0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系【考点】两个变量的线性相关【专题】常规题型【分析】线性回归方程一定过样本中心点，在一组模型中残差平方和越小，拟合效果越好，相关指数表示拟合效果的好坏，指数越小，相关性越强【解答】解：样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确，R2越大拟合效果越好
18、，故C不正确，当r的值大于0.75时，表示两个变量具有线性相关关系，故选C【点评】本题考查衡量两个变量之间相关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或无关的精确的可信程度，只有利用独立性检验的有关计算，才能做出判断大于0.75时，表示两个变量有很强的线性相关关系11已知抛物线的方程为y2=8x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若SAOF=SBOF（O为坐标原点），则|AB|=（）AB8CD4【考点】抛物线的简单性质；集合的含义【专题】计算题；数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A，B的纵坐标为y1，y2，则由SAOF=SBOF，得到ABx轴，即A（2，y1），则|y
19、1|=4，问题得以解决【解答】解：设A，B的纵坐标为y1，y2，则由SAOF=SBOF，得|OF|y1|=|OF|y2|，即y1+y2=0，即ABx轴，即A（2，y1），则|y1|=4，所以|AB|=8故选：B【点评】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题、三角形面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12椭圆C： +=1（ab0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一l【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出F（c，0）关于直线x+y=0的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率【解答】解：
20、设F（c，0）关于直线x+y=0的对称点A（m，n），则，m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e48e2+4=0，e=1，故选：D【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13命题“x0，都有sinx1”的否定：x0，使得sinx1【考点】命题的否定【分析】先否定题设，再否定结论【解答】解：“x0”的否定是“x0”，“都有sinx1”的否定是“使得sinx1”，“x0，都有sinx1”的否定是“x0，使得sinx1”故答案为：x0，使得sinx1【点评】本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答14四进制数 12
21、3（4）化为十进制数为27【考点】进位制【专题】计算题；算法和程序框图【分析】利用累加权重法，即可将四进制数转化为十进制，从而得解【解答】解：由题意，123（4）=142+241+340=27，故答案为：27【点评】本题考查四进制与十进制之间的转化，熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查15己知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆的方程为，则容易求得A点的纵坐标为，根据已知条件便知|F1F2|=|AF1|，所
22、以得到2c=，b2换上a2c2得到2ac=a2c2所以可得到，解关于的方程即得该椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的标准方程为，（ab0），焦点F1（c，0），F2（c，0），如图：将x=c带入椭圆方程得；解得y=；|F1F2|=|AF1|；2ac=a2c2两边同除以a2并整理得：；解得，或（舍去）；这个椭圆的离心率是故答案为：【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及焦距，椭圆离心率的概念，b2=a2c2，以及数形结合解题的方法，解一元二次方程16在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1A1C有下列条件：AB=AC=BC；ABAC；AB=AC其中能成为BC1AB1的充要条件的是（填上该条件的序号）【
23、考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】证明题；综合法【分析】由题意，对所给的三个条件，结合在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1A1C作出如图的图象，借助图象对BC1AB1的充要条件进行研究【解答】解：若AB=AC=BC，如图取M，N分别是B1C1，BC的中点，可得AMBC，A1NB1C1，由直三棱柱ABCA1B1C1中，可得AM，A1N都垂直于侧面B1C1BC，由此知AM，A1N都垂直于线BC1，又BC1A1C结合图形知BC1CN又由M，N是中点及直三棱柱的性质知B1MCN，故可得BC1B1M，再结合AM垂直于线BC1，及图形知BC1面AMB1，故有BC1AB1，故能成为BC1AB1的
24、充要条件同理也可对于条件，其不能证得BC1AB1，故不为BC1AB1的充要条件综上符合题意故答案为【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题的关键是构造图形证明线面垂直从而证明线线垂直利用线面垂直证明线线垂直是立体几何中证明线线垂直常用的方法三、解答题：共6道小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17设命题p：实数x满足（x4a）（xa）0，其中a0，命题q：实数x满足x24x+30（1）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）将a=
25、1代入，求出q为真时x的范围，从而求出p且q为真时x的范围；（2）q是p的充分不必要条件，则BA，得到不等式组，解出即可【解答】解：（1）由（x4a）（xa）0得ax4a，当a=1时，1x4，即p为真命题时，实数x的取值范围是1x4，由x24x+30得1x3所以q为真时实数x的取值范围是1x3，若pq为真，则1x3，所以实数x的取值范围是（1，3，（2）设A=x|ax4a，B=x|1x3，q是p的充分不必要条件，则BA，所以a1，所以实数a的取值范围是（，1）【点评】本题考查了复合命题的判断，考查了充分必要条件问题，是一道基础题18（1）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x=，求抛物线的标准方
26、程；（2）已知双曲线的焦点在x轴上，且过点（，），（，），求双曲线的标准方程【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设抛物线方程为y2=2px（p0），根据题意建立关于p的方程，解之可得p=，得到抛物线方程；（2）设双曲线方程为mx2ny2=1（m0，n0），代入点（，），（，），可得方程组，求出m，n，即可求双曲线的标准方程【解答】解：（1）由题意，设抛物线的标准方程为y2=2px（p0），抛物线的准线方程为x=，=，解得p=，故所求抛物线的标准方程为y2=x（2）设双曲线方程为mx2ny2=1（m0，n0），代入点（，），（，），可
27、得，m=1，n=，双曲线的标准方程为x2y2=1【点评】本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，考查双曲线方程，属于基础题19已知直线l的方程为sin（+）=，圆C的方程为（为参数）（1）把直线l和圆C的方程化为普通方程；（2）求圆C上的点到直线l距离的最大值【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）利用和角的正弦函数公式、以及x=cos、y=sin，即可求得该直线的直角坐标方程（2）把圆C的方程利用同角三角函数的基本关系，消去，化为普通方程【解答】解：（1）线l的方程为sin（+
28、）=，即 sin+cos=，化为直角坐标方程为 x+y2=0把圆C的方程为（为参数），利用同角三角函数的基本关系，消去，化为普通方程为 x2+y2=1（2）圆心（0，0）到直线l的距离d=，半径为1，故圆C上的点到直线l距离的最大值为d+r=【点评】本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题20从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）、第二组160，165）；第八组190，195，如图是按上述分组方法得
29、到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同（I）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足|xy|5的事件概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）由直方图求出前五组的频率，进一步得到后三组的频率，然后求出后三组的人数和，再由第八组的频率求出第八组的人数，设出第六组的人数m，求出m的值，则第六组、第七组的频率可求；（2）分别求出身高在180，185）内和在190，195）的人数，标号后利用列举法写出从中随机抽取
30、两名男生的所有情况，查出满足|xy|5的事件个数，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（1）：由直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82，后三组频率为10.82=0.18，人数为0.1850=9（人），由直方图得第八组频率为：0.0085=0.04，人数为0.0450=2（人），设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又m+m1+2=9，所以m=4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06，频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图，（2）由（1）知身高在180，185内的人数为4人，设为a，b，c，d身高
31、在190，195的人数为2人，设为A，B若x，y180，185时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共六种情况若x，y190，195时，有AB共一种情况若x，y分别在180，185，190，195内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况所以基本事件的总数为6+8+1=15种，事件|xy|5所包含的基本事件个数有6+1=7种，故满足|xy|5的事件概率p=【点评】本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，考查了学生的读图能力，是基础题21如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60，AB=2AD，PD底面ABCD（）证明：PABD；（
32、）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角【专题】计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想【分析】（）因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BDAD，根据PD底面ABCD，易证BDPD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PABD；（）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可【解答】（）证明：因为DAB=60，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以B
33、D平面PAD故PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），B（0，0），C（1，0），P（0，0，1）=（1，0），=（0，1），=（1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos=故二面角APBC的余弦值为：【点评】此题是个中档题考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力22已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4
34、，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B（）求椭圆的方程；（）求m的取值范围；（）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为，得出a2=4b2，再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而0，解得5m5；（III）设出A（x1，y1），B（x2，y2），对（II）的方程利用根与系数的关系得：再计算出
35、直线MA的斜率k1=，MB的斜率为k2=，将式子K1+K2通分化简，最后可得其分子为0，从而得出k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补，命题得证【解答】解：（）设椭圆的方程为，椭圆的离心率为，a2=4b2，又M（4，1），解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为（4分）（）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m220=0，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B=（8m）220（4m220）0，解得5m5（7分）（）设直线MA，MB的斜率分别为k1和k2，只要证明k1+k2=0设A（x1，y1），B（x2，y2），根据（）中的方程，利用根与系数的关系得：上式的分子=（x1+m1）（x24）+（x2+m1）（x14）=2x1x2+（m5）（x1+x2）8（m1）=所以k1+k2=0，得直线MA，MB的倾斜角互补直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形（12分）【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于难题解题时注意设而不求和转化化归等常用思想的运用，本题的综合性较强对运算的要求很高