1、第九章平面解析几何第4课时圆 的 方 程考情分析考点新知了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程与一般方程能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化.1. 方程x2y26x0表示的圆的圆心坐标是_；半径是_答案：(3，0)3解析：(x3)2y29，圆心坐标为(3，0)，半径为3.2. 以两点A(3，1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是_答案：(x1)2(y2)225解析：设P(x，y)是所求圆上任意一点 A、B是直径的端点， 0.又(3x，1y)，(5x，5y)由0(3x)(5x)(1y)(5y
2、)0x22xy24y200(x1)2(y2)225.3. (必修2P111练习8改编)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是_答案：(1，)解析：由(4m)2445m0得m或m1.4. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为_答案：x2(y2)21解析：设圆的方程为x2(yb)21，此圆过点(1，2)，所以12(2b)21，解得b2.故所求圆的方程为x2(y2)21.5. (必修2P112习题8改编)点(1，1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是_答案：(1，1)解析： 点(1，1)在圆的内部， (1a)2(1a)24，
3、1a1.1. 圆的标准方程(1) 以(a，b)为圆心，r (r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(2) 特殊的，x2y2r2(r0)的圆心为(0，0)，半径为r2. 圆的一般方程方程x2y2DxEyF0变形为.(1) 当D2E24F0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；(2) 当D2E24F0时，该方程表示一个点；(3) 当D2E24F0时，该方程不表示任何图形3. 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程；(2) 根据条件列出关于a，b，r的方程组或关于D，E，F的方程组；(3) 求出a，b，r或D，E，F
4、的值，从而确定圆的方程4. 点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1) 若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2(2) 若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2(3) 若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)20，即有4(m3)24(14m2)24(16m49)0m1.(2) 半径r0r.(3) 设圆心坐标为(x，y)，则消去m，得y4(x3)21.由于m1，所以xr. 点P在圆外已知圆C的圆心与点P(2，1)关于直线yx1对称，直线3x4y110与圆C相交于A、B两点，且6，求圆C的方程解：设圆C的方程为(xa)
5、2(yb)2r2(r0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，1)到直线3x4y110的距离d3.AB6，r2d218，圆C的方程为x2(y1)218.例3在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)x22xb(xR)与两坐标轴有三个交点记过三个交点的圆为圆C.(1) 求实数b的取值范围；(2) 求圆C的方程；(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论解：(1) 令x0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)0，得x22xb0，由题意b0且0，解得b0，b0)始终平分圆C：x2y28x2y10，则ab的最大值为_答案：1解析：圆C的圆心坐标为(4，1)，则有4ab40，
6、即4ab4.所以ab(4ab)1.当且仅当a，b2取得等号5. 如图，已知点A(1，0)与点B(1，0)，C是圆x2y21上的动点，连结BC并延长至D，使得CDBC，求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1，0)，B(1，0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x01，2y0)，由重心坐标公式得则代入x2y21，整理得y2(y0)，故所求轨迹方程为y2(y0)6. 已知圆M过两点A(1，1)，B(1，1)，且圆心M在xy20上(1) 求圆M的方程；(2) 设P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积
7、的最小值解：(1) 设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，根据题意得解得ab1，r2.故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2) 由题知，四边形PAMB的面积为SSPAMSPBM|AM|PA|BM|PB|.又|AM|BM|2，|PA|PB|，所以S2|PA|，而|PA|，即S2.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min3，所以四边形PAMB面积的最小值为S222.1. 圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为_答案：xy20解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在
8、圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，所以2，解得k.所以切线方程为y(x1)，即xy20.2. 若方程ax2ay24(a1)x4y0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程解：方程ax2ay24(a1)x4y0表示圆，a0.方程ax2ay24(a1)x4y0可以写成x2y2xy0.D2E24F0恒成立，a0时，方程ax2ay24(a1)x4y0表示圆设圆的半径为r，则r22，当即，a2时，圆的半径最小，半径最小的圆的方程为(x1)2(y1)22.3. 如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若xe1ye2(其中e1、e2分
9、别为与x轴、y轴同方向的单位向量)，则P点斜坐标为(x，y)(1) 若P点斜坐标为(2，2)，求P到O的距离|PO|；(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程解：(1) P点斜坐标为(2，2)，2e12e2.|2(2e12e2)288e1e288cos604.|2，即|OP|2.(2) 设圆上动点M的斜坐标为(x，y)，则xe1ye2.(xe1ye2)21.x2y22xye1e21.x2y2xy1.故所求方程为x2y2xy1.4. 已知圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y0的距离为，求该圆的方程解：设圆P的圆心为P(a，b)，
10、半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90，知圆P截x轴所得的弦长为r.故2|b|r，得r22b2，又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2a21，得2b2a21.又因为P(a，b)到直线x2y0的距离为，得d，即有a2b1，综上所述得或解得或于是r22b22.所求圆的方程是(x1)2(y1)22，或(x1)2(y1)22.5. 已知圆C：x2y29，点A(5，0)，直线l：x2y0.(1) 求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2) 在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数
11、，试求所有满足条件的点B的坐标解：(1) 设所求直线方程为y2xb，即2xyb0， 直线与圆相切， 3，得b3， 所求直线方程为y2x3.(2) (解法1)假设存在这样的点B(t，0)，当P为圆C与x轴左交点(3，0)时，；当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，依题意，解得，t5(舍去)，或t.下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数设P(x，y)，则y29x2， ， 从而为常数(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数，则PB22PA2， (xt)2y22(x5)2y2，将y29x2代入得，x22xtt29x22(x210x259x2)，即2(52t)x342t290对x3，3恒成立， 解得或(舍去)，所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数.1. 利用待定系数法求圆的方程，关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组2. 利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用3. 解决与圆有关的最值问题的常用方法(1) 形如u型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；(2) 形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；(3) 形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题备课札记
