1、简单复合函数的导数课标要求素养要求能求简单的复合函数(限于形如f(axb)的导数.在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且yf(u)60uu2，ug(x)603x，那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y60uu260(603x)(603x)2180x9x2，上式也可这样得到f(g(x)60g(x)g(x)2180x9x2.问题1函数f(g(x)与f(x)和g(x)是什么关系？提示f(g(x)是f(x)与g(x)的复合函数.问题2求f(u)60uu2的导数f(u)，ug(x)60
2、3x的导数ug(x).提示f(u)602u602(603x)6x60，ug(x)3.问题3设yf(g(x)180x9x2，求y，并观察f(u)和ug(x)的关系.提示y18018x，易知yf(u) ux.1.复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x).2.复合函数的求导法则正确地拆分复合函数是求导的前提一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对
3、x的导数的乘积.拓展深化微判断1.函数f(x)ln(2x1)是由yln u与u2x1复合而成的.()2.f(x)2x2是复合函数.()提示f(x)不是复合函数.3.设f(x)ex，则f(x)ex.()提示f(x)ex.微训练1.设f(x)ln(2x1)，则f(x)()A. B.C. D.解析f(x)ln(2x1)(2x1).答案B2.设f(x)cos 2x3x，则f()A.5 B.3 C.4 D.解析f(x)2sin 2x3，f2sin 33.答案B3.曲线f(x)e2x3在(1，f(1)处的切线的斜率是_.解析f(x)2e2x3，f(1)2e，即k2e.答案2e微思考1.复合函数yf(g(x
4、)，用中间变量yf(u)，ug(x)代换后求导的顺序是什么？提示根据复合函数的求导法则yxyuux，求导的顺序是从外向内逐层求导.2.函数f(x)是由哪两个函数复合而成的？提示由yu和u2xex复合而成.题型一求复合函数的导数【例1】求下列函数的导数.(1)y；(2)ylog2(2x1)；(3)ye3x2；(4)ysin.解(1)y(12x)，设yu，u12x，则yxyuux(u)(12x)(2)(12x).(2)设ylog2u，u2x1，则yxyuux(log2u)(2x1)2即y(3)设yeu，u3x2，则yxyuux(eu)(3x2)3eu3e3x2，即y3e3x2.(4)设ysin u
5、，u2x，则yxyuux(sin u)cos u22cos.规律方法(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁.【训练1】求下列函数的导数：(1)y(2x1)4；(2)y102x3；(3)yexsin 2x；(4)y.解(1)设yu4，u2x1，则yxyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3.(2)设y10u，u2x3，则yxyuux(10u)(2x3)10uln 1022102x3ln 10102x3ln 100.(3)yx(ex)sin 2xex(sin 2x)exsin 2x2excos
6、2x.(4)yx.题型二与复合函数有关的切线问题【例2】求曲线y在点(1，)处的切线方程.解y()(3x21)(3x21)6x，当x1时，y，切线的斜率为k，过点(1，)的切线方程为y(x1)，即xy10.规律方法解此类问题的关键有两个：(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.【训练2】已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是_.解析设x0，则x0时，f(x)ex1x.因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012.则曲线yf(x)在点(1
7、，2)处的切线的斜率为f(1)2，所以切线方程为y22(x1)，即2xy0.答案2xy0题型三复合函数导数的综合问题【例3】某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)3sin(0t24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t18时的导数，并解释它的实际意义.解设f(x)3sin x，x(t)t，所以s(t)f(x)(t)3cos xcos，将t18代入s(t)，得s(18)cos(m/h).s(18)表示当t18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.规律方法将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状
8、况.【训练3】已知某质点的位移s与位移时间t满足stet1，则质点在t1时的瞬时速度为_.解析s(t1)et1，当t1时，s(1)2.答案2一、素养落地1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养.2.求复合函数的导数应处理好以下环节：(1)中间变量的选择应是基本函数结构；(2)关键是正确分析函数的复合层次；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；(4)善于把一部分表达式作为一个整体；(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.二、素养训练1.设f(x)sin 2x，则f(x)()A.cos 2x B.2cos 2xC.cos 2x D.2cos 2x解析f(x)(sin
9、 2x)(2x)2cos 2x.答案B2.设f(x)ln(3x2)3x2，则f(0)()A.1 B. C.1 D.2解析f(x)6x，故f(0)0.答案B3.函数y的导数y_.解析y(3x1)2，设yu2，u3x1，yxyuux(u2)(3x1)2u336(3x1)3.答案4.设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.解析易知yaeax，y|x0ae0a，故a1，则a2.答案25.已知函数f(x)的导函数f(x)，若f(x)fsin 3xcos 3x，则f_.解析f(x)fsin 3xcos 3x，f(x)f3cos 3x3sin 3x，令x可得ff3cos 3sin
10、f3，解得f3.答案3基础达标一、选择题1.设f(x)log3(x1)，则f(2)()A.ln 3 B.ln 3C. D.解析f(x)，故f(2).答案C2.函数yx(1ax)2(a0)，且y|x25，则a()A.1 B.1 C.2 D.2解析y(1ax)22ax(1ax)，则y|x212a28a15(a0)，解得a1.答案A3.设函数f(x)(2 0202 019x)3，则f(1)()A.6 057 B.6 057C.2 019 D.2 019解析f(x)3(2 019)(2 0202 019x)2，则f(1)3(2 019)6 057.答案B4.(多选题)下列结论中不正确的是()A.若yc
11、os ，则ysin B.若ysin x2，则y2xcos x2C.若ycos 5x，则ysin 5xD.若yxsin 2x，则yxsin 2x解析对于A，ycos，则ysin，故错误；对于B，ysin x2，则y2xcos x2，故正确；对于C，ycos 5x，则y5sin 5x，故错误；对于D，yxsin 2x，则ysin 2xxcos 2x，故错误.答案ACD5.曲线ycos在x处切线的斜率为()A.2 B.2 C. D.解析设ycos u，u2x，yx(cos u)2sin，故k2sin2.答案B二、填空题6.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假设
12、“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行使时间t(s)的关系v0.4t0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24 m/s时加速度为_(m/s2).解析当v24时，0.4t0.6t224，解得t6(负根舍去)，v0.41.2t，当t6时，v0.41.267.6(m/s2).答案7.67.已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_.解析设直线yx1切曲线yln(xa)于点(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)，又曲线导数为y，y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，y00，x01，a2.答案28.曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_
13、.解析yex，y|x4e2.曲线在点(4，e2)处的切线方程为ye2e2(x4)，整理得：ye2xe2，切线与坐标轴的交点分别是(0，e2)，(2，0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S|e2|2|e2.答案e2三、解答题9.求下列函数的导数：(1)y(12x2)8；(2)y；(3)ysin 2xcos 2x；(4)ycos x2.解(1)设yu8，u12x2，y(u8)(12x2)8u74x8(12x2)74x32x(12x2)7.(2)设yu，u1x2，则yx(1x2)(2x)x(1x2).(3)yx(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)2cos 2x2sin 2x2
14、sin.(4)设ycos u，ux2，则yx(cos u)(x2)(sin u)2x(sin x2)2x2xsin x2.10.已知a0，f(x)ax22x1ln(x1)，l是曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线.求切线l的方程.解f(x)ax22x1ln(x1)，f(0)1.f(x)2ax2，f(0)1，切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为1，切线l的方程为xy10.能力提升11.已知函数f(x)x2 019sin x(xR)，则f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)值为_.解析由题意，f(x)2 019x2 018cos x，f(x)2 019(x)2 01
15、8cos(x)2 019x2 018cos xf(x)，f(x)是偶函数，f(x)f(x)0，又f(x)f(x)x2 019sin x(x)2 019sin(x)2.f(2 019)f(2 019)f(2 019)f(2 019)2.答案212.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为SS(t)5.求函数在t1 s时的导数，并解释它的实际意义.解函数S5可以看作函数S5和x259t2的复合函数，其中x是中间变量.由导数公式表可得Sxx，xt18t.故由复合函数求导法则得StSxxt(18t)，将t1代入S(t)，得S(1)2.25(m/s)
16、.它表示当t1 s时，梯子上端下滑的速度为2.25 m/s.创新猜想13.(多选题)曲线ye2xcos 3x在点(0，1)处的切线与其平行直线l的距离为，则直线l的方程可能为()A.y2x6 B.y2x4C.y3x1 D.y3x4解析ye2x(2cos 3x3sin 3x)，y|x02，则所求的切线方程为y2x1，设直线l的方程为y2xb，则，解得b6或4.直线l的方程为y2x6或y2x4.答案AB14.(多空题)设f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b为常数)，曲线yf(x)与直线yx在(0，0)点相切，则a_，b_.解析由曲线yf(x)过(0，0)点，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，则f(0)1aa，此即为曲线yf(x)在点(0，0)处的切线的斜率.由题意，得a，故a0.所以a0，b1.答案01