1、 1.2.2直线的两点式方程基础过关练题组一直线的两点式方程1.(2020江苏南京雨花台中学高二月考)过点M(-4,3)和N(-2,1)的直线方程是()A.x-y+3=0B.x+y+1=0C.x-y-1=0D.x+y-3=02.(2020江苏苏州第六中学高二阶段测试)已知直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),则l的斜率为()A.-38B.38C.-32D.323.(2020江苏宜兴中学高二期中)若直线l过点(-1,-1)和(2,5),且点(2 021,b)在直线l上,则b的值为()A.2 019B.2 021C.4 041D.4 0434.(2020江苏张家港高级中学高
2、二月考)已知三角形的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求三边所在的直线方程.题组二直线的截距式方程5.(2020江苏苏州黄桥中学高二期中)在x轴和y轴上的截距分别为-4和5的直线方程是()A.x5+y-4=1B.x4+y-5=1C.x-4+y5=1D.x-5+y4=16.(2020吉林东北师大附属中学高二上阶段测试)直线-x2+y3=-1在x轴,y轴上的截距分别为()A.2,3B.-2,3C.-2,-3D.2,-37.(2020江苏常州奔牛高级中学阶段测试)若直线xa+yb=1过第一、三、四象限,则()A.a0,b0B.a0,b0C.a0D.a0,b0),若此直线在x轴和y轴
3、的截距的和取得最小值,则直线的方程为()A.4x+2y-2=0B.4x+y-1=0C.2x-2y+1=0D.2x+2y-1=03.(2020山西怀仁重点中学高二上期末,)经过点A(-1,2),并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的条数是()A.1B.2C.3D.44.()两条直线xm-yn=1与xn-ym=1的图象可能是()5.(2020江苏连云港新海高级中学高二月考,)已知直线xa+yb=1经过第一、二、三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是()A.|a|bC.(b-a)(b+a)0D.1a1b6.(2020江苏连云港海头高级中学高二期中,)已知两点A(-1,2),B(m,3
4、),则直线AB的方程为.7.(2020江苏盐城中学高一月考,)直线l过点P(4,9),且与x轴正半轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.(1)当AOB的面积取得最小值时,求此时直线的方程;(2)当l的截距之和取得最小值时,求此时直线的方程.题组二直线的两点式和截距式方程的应用8.(2020江苏连云港东海高级中学高一月考,)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是()A.-2,2B.(-,-22,+)C.-2,0)(0,2D.(-,+)9.(2020江苏南京溧水高级中学期中,)已知A(4,0)、B(0,2),若点C(a,b)在线段AB(不含端点)上
5、,则1a+1-b的最小值为()A.2-52B.2-32C.32-2D.52-210.(2020江苏如皋第一中学期中,)已知直线l:kx+y-2k-1=0与两坐标轴分别交于A,B两点,如果AOB的面积为4,那么满足要求的直线l的条数是()A.1B.2C.3D.411.()Y城市要在某小区前一块广场ABCDE(如图)上规划出一块长方形地面(不改变方位),改善人们室外活动生活.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m)答案全解全析基础过关练1.B由直线的两点式方程,得y-31-3=x-(-4)-2-(-4),整理,得
6、x+y+1=0.故选B.2.A因为直线l的两点式方程为y-0-3-0=x-(-5)3-(-5),所以直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为0-(-3)-5-3=-38.故选A.3.D因为直线l过点(-1,-1)和(2,5),所以由直线的两点式方程,得直线l的方程为y-(-1)5-(-1)=x-(-1)2-(-1),化简,得y=2x+1.因为点(2 021,b)在直线l上,所以将点(2 021,b)代入方程y=2x+1,得b=22 021+1,解得b=4 043.故选D.4.解析直线AB过A(4,0),B(6,7)两点,由直线的两点式方程,得y-07-0=x-46-4,整理得7x-
7、2y-28=0,直线AB的方程为7x-2y-28=0.直线AC过A(4,0),C(0,3)两点,由直线的两点式方程,得y-03-0=x-40-4,整理得3x+4y-12=0,直线AC的方程为3x+4y-12=0.直线BC过B(6,7),C(0,3)两点,由直线的两点式方程,得y-73-7=x-60-6,整理得2x-3y+9=0,直线BC的方程为2x-3y+9=0.易错警示在用直线的两点式方程时,要注意公式中字母或数字的顺序.5.C设直线方程为xa+yb=1.由题意知a=-4,b=5,代入得x-4+y5=1.故选C.6.D直线方程可化为x2+y-3=1,因此,直线在x轴,y轴上的截距分别为2,-
8、3,故选D.7.B因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a0,b0,b0),则AOB的面积为12ab=12.因为直线l过点P(2,3),所以2a+3b=1.联立,解得a=4,b=6,故直线l的方程为x4+y6=1,即3x+2y-12=0.故选A.11.解析易知点A(3,2)关于x轴的对称点为A(3,-2).由已知可得反射光线所在直线为直线AB,其方程为y-6-2-6=x+13+1,即2x+y-4=0.点B(-1,6)关于x轴的对称点为B(-1,-6).由已知可得入射光线所在直线为直线AB,其方程为y+62+6=x+13+1,即2x-y-4=0.综上,入射
9、光线所在直线的方程为2x-y-4=0,反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.12.解析由题意知直线l不过原点,且在两坐标轴上的截距都存在,设其方程为xa+yb=1.由题意得5a+2b=1,12|a|b|=92,即5a+2b=1,ab=9(此方程组无解)或5a+2b=1,ab=-9,解得a=-152,b=65或a=3,b=-3.直线l的方程为y=425x+65或y=x-3.能力提升练1.D令x=0,得y=0,令y=0,得x=0,所以直线x3-y2=0的横截距为0,纵截距为0,直线x3-y2=0在两个坐标轴上的截距之和为0.故选D.易错警示直线的截距式方程xa+yb=1的特征是x项分母对应的是
10、横截距,y项分母对应的是纵截距,中间以“+”连接,等式的右边为1.但是本题中的方程x3-y2=0不是直线的截距式方程,因此横截距不是3,纵截距也不是2.2.D直线4x+m2y-m=0(m0)可化为4xm+my=1,即xm4+y1m=1,则此直线在x轴和y轴的截距分别为m4,1m,且m40,1m0,m4+1m2m41m=1,当且仅当m=2时,m4+1m取得最小值1,此时直线方程为2x+2y=1,即2x+2y-1=0.故选D.3.C当直线经过原点时,符合题意,设直线的方程为y=kx,则2=-k,所以直线方程为y=-2x.当直线不经过原点时,设直线方程为xa+yb=1,因为点A在直线上,所以-1a+
11、2b=1,又由题知|a|=|b|,所以若a=b,代入得a=b=1,所以直线方程为x+y-1=0;若a=-b,代入得a=-3,b=3,所以直线方程为x-y+3=0.综上,符合题意的直线有3条,故选C.易错警示在解决与两截距有关的问题时,要注意思考过原点的直线是否适合题意,防止遗漏导致错误.4.B直线xm-yn=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线xn-ym=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图象知B正确,故选B.5.B直线xa+yb=1经过第一、二、三象限,直线在x轴的截距a0,由直线的斜率小于1,可知0-ba1,结合a0,可得a0b|b|,选项A错误
12、;-ab,选项B正确;由不等式的性质可得,b-a0,b+a0,则(b-a)(b+a)0,选项C错误;1a0,则1a0,b0),直线l过点P(4,9),4a+9b=1,又4a+9b24a9b=144ab,ab144,则SAOB=12ab12144=72,当且仅当4a=9b,4a+9b=1,即a=8,b=18时,等号成立,所求直线的方程为9x+4y-72=0.(2)由(1)得4a+9b=1,a+b=(a+b)4a+9b=13+4ba+9ab13+24ba9ab=25,当且仅当4ba=9ab,即b=15,a=10时,等号成立,此时所求直线的方程为3x+2y-30=0.8.C令x=0,可得y=b2;令
13、y=0,可得x=-b,12b2(-b)1,b0,解得-2b2,且b0.故选C.9.A由A(4,0)、B(0,2)可得直线AB的方程为x4+y2=1,即x+2y=4.因为点C(a,b)在线段AB(不含端点)上,所以a+2b=4(a0,b0).所以1a+1-b=1a+1-4-a2=1a+1+a-42=1a+1+a+1-52=1a+1+a+12-5221a+1a+12-52=2-52,当且仅当1a+1=a+12,即a=2-1时等号成立.故选A.10.C当k=0时,直线l:y-1=0,不合题意;当k0时,令x=0,则y=2k+1,令y=0,则x=2+1k,所以SAOB=12(2k+1)2+1k=124
14、k+4+1k=4,所以4k+4+1k=8或4k+4+1k=-8,解得k=12(二重根)或k=-3+222或k=-3-222.所以满足要求的直线l的条数是3.故选C.11.解析如图,以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,60),B(90,0),AB所在直线的方程为x90+y60=1,即y=60-23x,设Px,60-23x,0x90,过P点分别作AE,BC的平行线与DE,CD交于F,Q,则开发的矩形PQDF的面积S=(300-x)240-60-23x=(300-x)180+23x=-23x2+20x+54 000=-23(x-15)2+54 150,当x=15,y=50时,S取得最大值,为54 150 m2.答:长方形顶点P距AE边15 m,距BC边50 m时,面积最大,为54 150 m2.