1、空间向量的运算及应用建议用时：45分钟一、选择题1已知a(2，3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0，3，6)B(0，6，20)C(0，6，6) D(6，6，6)B由bx2a，得x4a2b(8，12，16)(8，6，4)(0，6，20).2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内D，共面则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内3已知a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，ab D以上都不对Cc(4，6，2)2(2，3，1)2a，ac，又ab22(3)0140，
2、ab.4.如图所示，三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则()A(abc)B(abc)C(abc)D(abc)B()()(abc).5A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定CM为BC中点，()，()0.AMAD，AMD为直角三角形二、填空题6在空间直角坐标系中，A(1，1，2)，B(1，2，3)，C(1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，zR)，若A，B，C，D四点共面，则2xyz_1A(1，1，2)，B(1，2，3)，C(1，3，0)，D(x，y，z)(x，
3、y，zR)，(0，1，1)，(2，2，2)，(x1，y1，z2).A，B，C，D四点共面，存在实数，使得，即(x1，y1，z2)(0，1，1)(2，2，2)，解得2xyz1.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin ，D1N的值为_如图建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，D1N(2，2，1)，cos ，D1N，sin ，D1N.8已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1).对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_0，0，ABAP，ADAP
4、，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2，3，4)，(1，2，1)，与不平行，故错误三、解答题9已知空间中三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解(1)c，(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmm(2，1，2)(2m，m，2m)，|c|3|m|3，m1.c(2，1，2)或(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a|，|b|，cos a，b，故向量a与向量b的夹角的余弦值为.10.如图，在棱长为a的正方体OABCO1
5、A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1FA1C1A1E解(1)E(a，x，0)，F(ax，a，0).(2)证明：A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，A1F(x，a，a)，C1E(a，xa，a)，A1FC1Eaxa(xa)a20，A1FC1E，A1FC1E.(3)证明：A1，E，F，C1四点共面，A1E，A1C1，A1F共面选A1E与A1C1为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使A1F1A1C1
6、2A1E，即(x，a，a)1(a，a，0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是A1FA1C1A1E1在空间四边形ABCD中，则的值为()A1 B0C1 D2B法一：(直接法)如图，令a，b，c, 则()()()a(cb)b(ac)c(ba)acabbabccbca0.法二：(特值法)在三棱锥ABCD中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直所以0，0，0.所以0.2.(2019四川名校联考)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B正方体棱
7、长为a，A1MAN，A1B，A1B(A1B1B1B)B1BB1C1又是平面B1BCC1的法向量，且0，MN平面B1BCC1.故选B.3ABC的顶点分别为A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则AC边上的高BD等于_5设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0，4，3)，x1，y41，z23，D(1，41，23)，(4，45，3)，0，4(45)3(3)0，解得，|5.4如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长解AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，ACCD，ACAB，|，|2或.
8、BD的长为2或.1已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是_(1，1，2)由题意，设，则(，2)，即Q(，2)，则(1，2，12)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，当1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2).2.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC，若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.连接SO，由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，BEDS.而BE平面PAC，故BE平面PAC.