1、2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1已知集合M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，1的集合M的个数是_2函数y=|x1|+|x+4|的值域为_3函数f（x）=lg（x2ax1）在区间（1，+）上为单调增函数，则a的取值范围是_4已知方程x24|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是_5设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为_6定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：f（x）是周期函数；f（x）关于直
2、线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数；f（x）在1，2上是减函数；f（2）=f（0），其中正确的序号是_7已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为_8圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0对称（a，bR），则ab的最大值是_9设 P点在圆x2+（y2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是_10若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为_11已知数列an满足，则=_二、解答题（本大题共5小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a
3、，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围13某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？14已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t
4、）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值15已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bn=an+12an2（n1）（）求数列an，bn的通项公式（）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列16已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x2
5、1，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围2015-2016学年江苏省南通市如东高中高三（上）开学数学试卷一、填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）1已知集合M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，1的集合M的个数是4【考点】交集及其运算 【专题】集合【分析】根据题意，利用交集的定义及包含关系确定出M的个数即可【解答】解：M0，1，2，3，4，M0，1，2=0，1，M=0，1或0，1，2，3或0，1，3或0，1，4共4个，故答案为：4【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2函数y=|x1|+|x+4|的值域为5，+）【考点】函数的值域 【专题
6、】函数的性质及应用【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域【解答】解：；x4时，y=2x35；4x1时，y=5；x1时，x5；该函数的值域为5，+）故答案为：5，+）【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性3函数f（x）=lg（x2ax1）在区间（1，+）上为单调增函数，则a的取值范围是a0【考点】复合函数的单调性 【专题】计算题【分析】利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立；利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题【解答】解：令t=x2
7、ax1则y=lgty=lgt在（0，+）递增又函数f（x）=lg（x2ax1）在区间（1，+）上为单调增函数，t=x2ax1在区间（1，+）上为单调增函数，且 x2ax10在（1，+）恒成立所以1且1a10解得a0故答案为a0【点评】本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围4已知方程x24|x|+5=m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是（1，5）【考点】根的存在性及根的个数判断 【专题】函数的性质及应用【分析】根据题意作出y=x24|x|+5的图象，从图象可知何时直线y=m与y=x24|x|+5的图象有四个交点
8、，从而可得结论【解答】解析：设f（x）=x24|x|+5，则f（x）=，作出f（x）的图象，如图要使方程x24|x|+5=m有四个全不相等的实根，需使函数f（x）与y=m的图象有四个不同的交点，由图象可知，1m5故答案：（1，5）【点评】考查学生会根据解析式作出相应的函数图象，会根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数注意利用数形结合的数学思想解决实际问题5设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为3【考点】奇偶函数图象的对称性 【专题】计算题【分析】直接利用两个绝对值相加的函数的图象的对称轴所特有的结论即可求a的值【解答】解：因为两个绝对值相加的函数的图象形
9、状为，即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称又因为函数f（x）=|x+1|+|xa|=的图象关于直线x=1对称，所以有=1a=3故答案为：3【点评】本题主要考查两个绝对值相加的函数的图象特点在平时做题过程中，要善于运用总结的结论和性质，做小题时节约时间6定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且在1，0上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：f（x）是周期函数；f（x）关于直线x=1对称；f（x）在0，1上是增函数；f（x）在1，2上是减函数；f（2）=f（0），其中正确的序号是【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间 【专题】压轴题【分析】首先理解题目f（x）定义在
10、R上的偶函数，则必有f（x）=f（x），又有关系式f（x+1）=f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了再根据周期函数的性质，且在1，0上是增函数，推出单调区间即可【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x），f（x）=f（x+1）=f（x+1+1）=f（x+2），f（x）是周期为2的函数，则正确又f（x+2）=f（x）=f（x），y=f（x）的图象关于x=1对称，正确，又f（x）为偶函数且在1，0上是增函数，f（x）在0，1上是减函数，又对称轴为x=1f（x）在1，2上为增函数，f（2）=f（0），故错误，正确故答案应为【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其
11、中涉及到函数单调性问题对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解记忆7已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为4【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算 【专题】数形结合【分析】首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+y，即y=x+z，z表示斜率为 的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：z=x+y，即y=x+z首先做出直线l0：y=x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大因为B（ ，2），故z的最大值为4故
12、答案为：4【点评】本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题8圆x2+y2+2x4y+1=0关于直线2axby+2=0对称（a，bR），则ab的最大值是【考点】直线与圆的位置关系；基本不等式 【专题】直线与圆【分析】由题意知，直线2axby+2=0经过圆的圆心（1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的最大值【解答】解：由题意可得，直线2axby+2=0经过圆x2+y2+2x4y+1=0的圆心（1，2），故有2a2b+2=0，即 a+b=1，故1=a+b2，求得 ab，当且仅当 a=b=时取等号，故ab的最大值是，
13、故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题9设 P点在圆x2+（y2）2=1上移动，点Q在椭圆上移动，则 PQ的最大值是1+【考点】椭圆的简单性质 【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离【解答】解：设椭圆上任意一点Q的坐标为（x，y），则x2+9y2=9点Q到圆心（0，2）的距离为d=，故当y=时，d取得最大值为，故|PQ|的最大值为1+故答案为：1+【点评】本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力以及转化思想，属于中档题10
14、若函数f（x）=（k为常数）在定义域上为奇函数，则k的值为1【考点】函数奇偶性的性质 【专题】计算题；压轴题【分析】由函数f（x）为在定义域上为奇函数，则必有f（x）=f（x），然后利用待定系数法求解【解答】解：函数f（x）=f（x）=f（x）（k21）（2x）2=1k2（k21）=0k=1故答案为：1【点评】本题主要考查奇偶性的定义的应用，要注意判断和应用的区别，判断时一定要从两个方面，一是定义域是否关于原点对称，二是模型是否满足应用时，已经知道奇偶性了，则对于定义域中任一变量都满足模型，做大题时用待定系数法求参数，做客观题时可用特殊值求解11已知数列an满足，则=【考点】数列递推式；数列的
15、求和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由，知an+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n1，由此能求出【解答】解：，an+1=，=+，+=3（+），即=3，=3n1，即=3n1，=3n1，=（30+3+32+3n1）=故答案为：【点评】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用二、解答题（本大题共5小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求a2+b2的取值范围【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【专题
16、】解三角形【分析】（1）在ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（CA）=sin（BC）故有 CA=BC，或者CA=（BC） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值（2）由于C=，设A=+，B=，由正弦定理可得 a2+b2=sin2A+sin2B=1+cos2由2，根据余弦函数的定义域和值域求得 a2+b2的取值范围【解答】解：（1）在ABC中，=，化简可得 sinCcosAcosCsinA=sinBcosCcosBsinC，即 sin（CA）=sin（BC）CA=BC，或者CA=（BC） （不成立，舍去），即 2C=A+B，C=（2）由于C
17、=，设A=+，B=，由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，a2+b2=sin2A+sin2B=+=1cos（+2）+cos（2）=1+cos2由2，可得cos21，1+cos2，即a2+b2的取值范围为 （，【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、两角和差的正弦公式，属于中档题13某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望
18、价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？【考点】函数最值的应用 【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论【解答】解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+）件，年收益y=
19、（a+）（x3）（5.5x7.5），（2）当k=2a时，依题意有（a+）（x3）（83）a（1+20%），解之得x6或4x5，又5.5x7.5，所以6x7.5，因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%【点评】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力14已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM
20、的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值【考点】圆与圆锥曲线的综合 【专题】综合题；压轴题【分析】（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x4y5=0的距离d，根据
21、勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值【解答】解：（1）又由点M在准线上，得故，c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x2）+y（yt）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x4y5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=
22、5（3）设N（x0，y0），则，2（x01）+ty0=0，2x0+ty0=2，又，x0（x02）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值【点评】此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和15已知数列an满足：，anan+10（n1），数列bn满足：bn=an+12an2（n1）（）求数列an，bn的通项公式（）证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列【考点】数列递推式；数列的概念及简单表示法；等差数列的性质 【专题】计算题；应用题；压轴
23、题【分析】（1）对化简整理得，令cn=1an2，进而可推断数列cn是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得cn，则a2n可得，进而根据anan+10求得an（2）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列，由于数列bn为等比数列，于是有brbsbt，则只有可能有2bs=br+bt成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾【解答】解：（）由题意可知，令cn=1an2，则又，则数列cn是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，anan+10故因为=，故（）假设数列bn存在三项br，bs，bt（rst）按某种顺序成等差数列
24、，由于数列bn是首项为，公比为的等比数列，于是有2bs=br+bt成立，则只有可能有2br=bs+bt成立，化简整理后可得，2=（）rs+（）ts，由于rst，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾故数列bn中任意三项不可能成等差数列【点评】本题主要考查了数列的递推式对于用递推式确定数列的通项公式问题，常可把通过吧递推式变形转换成等差或等比数列16已知函数f（x）=ax+x2xlna（a0，a1）（）当a1时，求证：函数f（x）在（0，+）上单调递增；（）若函数y=|f（x）t|1有三个零点，求t的值；（）若存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，试求a的取值范围【考点】函数零点
25、的判定定理；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【专题】计算题；压轴题【分析】（）证明a1时函数的导数大于0（）先判断函数f（x）的极小值，再由y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，根据t1应是f（x）的极小值，解出t（）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（1），最小值f（0）=1，由f（1）f（1）的单调性，判断f（1）与f（1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e1求出a的取值范围【解答】解：（）f（x）=axlna+2xlna=2x+（ax1）lna 由于a1，故
26、当x（0，+）时，lna0，ax10，所以f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增 （）当a0，a1时，因为f（0）=0，且f（x）在（0，+）上单调递增，故f（x）=0有唯一解x=0所以x，f（x），f（x）的变化情况如下表所示：又函数y=|f（x）t|1有三个零点，所以方程f（x）=t1有三个根，而t+1t1，所以t1=（f（x）min=f（0）=1，解得t=2；（）因为存在x1，x21，1，使得|f（x1）f（x2）|e1，所以当x1，1时，|（f（x）max（f（x）min|=（f（x）max（f（x）mine1，由（）知，f（x）在1，0上递减，在0，1上递增，所以当x1，1时，（f（x）min=f（0）=1，（f（x）max=maxf（1），f（1），而，记，因为（当t=1时取等号），所以在t（0，+）上单调递增，而g（1）=0，所以当t1时，g（t）0；当0t1时，g（t）0，也就是当a1时，f（1）f（1）；当0a1时，f（1）f（1）（14分）当a1时，由f（1）f（0）e1alnae1ae，当0a1时，由，综上知，所求a的取值范围为（16分）【点评】本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，属于中档题