1、3.3.1 两条直线的交点坐标1l2l夹 角12注：且，)0(21.21：已知直线的方程分别为，111:bxkyl.:222bxkyl，、的倾斜角分别为、，的角为到设212121llll时，即则当1012121kkkk.2，时当0121kk，11tank.tan22k12121l2l)1()2(由图可知1221或)(12或)tan(tan12)(tantan12或)tan(12)tan(tan121212tantan1tantan，12121kkkk.1tan1212kkkk是锐角；的角到直线时，当210tanll.0tan21是钝角的角到直线时，当ll，的角等于到 12ll，角中有且仅有一个
2、角是锐和在即我们把其中的锐角叫做这两条直线的夹角.夹角：.夹角的锐角叫做两条直线的两条直线斜交时，其中，则记夹角为.|1|tan1212kkkk.22121的夹角是和时，当直线llll 注：.20(，的取值范围是两条直线的夹角解方程组：3 x+4 y-2=0,2x+y+2=0.解：)1()2(得：由4)2()1(0105 x2x即得）（将它代入 22y.22yx方程组的解是说 明：:几何意义与直线0243:1yxl.)22(022:2，相交于点直线MyxlxyO1l2lM 交 点设两条直线的方程是l1:A1x+B1 y+C1=0，l2:A2x+B2 y+C2=0.如果这两条直线相交，由于交点同
3、时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.这两条直线是否有交点 A1x+B1 y+C1=0A2x+B2 y+C2=0方程组是否有唯一解。交 点设两条直线的方程是l1:A1x+B1 y+C1=0，l2:A2x+B2 y+C2=0.说明：若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交；若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合；若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行。这两条直线是否有交点 A1x+B1 y+C1=0，A2x+B2 y+C2=0.方程组是否有唯一解。例1 求经过原点且经过以
4、下两条直线交点的直线方程：l1:x-2 y+2=0,l2:2x-y-2=0.解：解方程组，022022yxyx.22yx，得.)22(21，是的交点与 ll直线方程为由已知可设经过原点的kxy 得代入此方程，把交点,)22(1k.xy 故所求直线方程为2例.，则求交点若相交，置关系判定下列各对直线的位)1(,0127:1yxl.02414:2yxl)2(,07)23(:1yxl.06)23(:2yxl,0153:1yxl)3(.0534:2yxl解：)1(.21重合与 ll)2(123 231.21平行与 ll6742147213543.21相交与 ll0153 yx534yx.12yx，)3
5、(.)12(，是交点若直线l1和l2为一般式方程：l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0，212121CCBBAA直线 l1l2 的充要条件是：.02121BBAA直线 l1l2 的充要条件是：2121BBAA 直线 l1与l2 相交充要条件是：212121CCBBAA直线 l1与l2 重合的充要条件是：)0(111CBA)0(111CBA)0(11BA教材第55页练习：1.求下列各对直线的交点，并画图：.01223:,2:)2(;42:,1232:12121yxlxlyxlyxl）（2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,则求出交点.2)12(:,3)12(:)3(
6、323:,0462:)2(;124:,72:1212121yxlyxlxylyxlyxlyxl；）（教材第55页练习：1.求下列各对直线的交点，并画图：.01223:,2:)2(;42:,1232:12121yxlxlyxlyxl）（解:4212321yxyx）（).74,736(交点736x74y012232)2(yxx2x3y).3,2(交点2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,则求出交点.2)12(:,3)12(:)3(323:,0462:)2(;124:,72:1212121yxlyxlxylyxlyxlyxl；）（解:21421）（.21相交与ll12472yxyx815x413
7、y).413,815(交点2.判断下列各对直线的位置关系.如果相交,则求出交点.2)12(:,3)12(:)3(323:,0462:)2(2121yxlyxlxylyxl；解:023:,0462:)2(21yxlyxl243612.21重合与ll02)12(:,03)12(:)3(21yxlyxl23121112.21平行与ll（1）平行直线系方程：的直线系方程是A x+B y+=0(C)，是参变量.直线系：具有某一共同属性的一类直线的集合。（2）垂直直线系方程：的直线系方程是 B x-Ay+=0(是参变量).与直线 A x+B y+C=0 平行与直线 A x+B y+C=0 垂直（3）共点直
8、线系方程：l1:A1 x+B1 y+C1=0，l2:A2 x+B2 y+C2=0 交点的经过两直线直线系方程是A1 x+B1 y+C1+(A2 x+B2 y+C2)=0，其中是参变量，它不表示直线 l2.3解：，023yx.5)1(213 3解：3例4 例5 平行的3/ll，4210234323.185解得.01023 yx作 业：教辅：57页59页 课堂练习 14教材：58页习题7.311 ,12.0723052在直线方程即行反射，求反射线所射入，遇到直线光线沿着直线yxyx练习：，设反射线的斜率为k解：等，因为反射角和入射角相kk231232123121231221tantan 229 k
9、0723052yxyx又)21(，反射点MM)1(2292xy：反射线所在直线方程为.033229 yx即1.的取值范围。能构成一个三角形，求：，：若三条直线mmyxlyxlyxl015502,0.2321解：020yxyx11yx），（的交点为与即1121Pll，若13ll，则015115m，则15 m，若23ll，则15m，），（经过点若113Pl.5m即.5m即.10m即均不能构成三角形。显然以上任意一种情况的取值范围是的能构成、mlll321.1055mmm且且3.BCA3.BCABCA由个定点的坐标。恒过一定点，并求出这）（），求证直线（设045121mymxmRm6例，取1m.)31(，得两直线的交点解：，取0m30932yyl即：得041 yxl：得45361mmm304yyx解方程组04512)1()31(mymxm）（代入直线方程左边，将点453121)1(mmm）（0上，）（在直线，点04512)1()31(mymxm得）。，点坐标为（即直线过定点，这个定3104512)1(mymxm）（另解：04052yxyx0)52(4yxmyx上式恒成立，Rm31yx）。，恒过定点（）（直线3104512)1(mymxm个定点的坐标。恒过一定点，并求出这）（），求证直线（设045121mymxmRm6例