1、第一课时等差数列的前n项和公式及相关性质课标要求素养要求1.探索并掌握等差数列的前n项和公式.2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.在探索等差数列的前n项和公式及相关性质的过程中,发展学生的数学运算和逻辑推理素养.新知探究在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇帝建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环的石板铺成(如图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第1圈有9块石板,从第2圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.问题文中所提到的最高一层的石板一共有多少块?提示929398999405(块).1.等差数列的前n项和公式求Sn的条件:已知n,a1
2、,an或n,a1,d(1)等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式SnSnna1(2)两个公式的关系:把ana1(n1)d代入Sn中,就可以得到Snna1d.2.等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.(2)若Sm,S2m,S3m分别为等差数列an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列,公差为m2d.(3)设两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则.(4)若等差数列的项数为2n,则S2nn(anan1),S偶S奇nd,(S奇0).(5)若等差数列的项数为2n1,则S
3、2n1(2n1)an1(an1是数列的中间项),S偶S奇an1,(S奇0).拓展深化微判断1.设等差数列an的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等.()提示当an0时,Snan.2.等差数列an的前n项和Sn是关于n的二次函数.()提示当公差d0时,Snna1不是关于n的二次函数.3.等差数列an的前n项和Sn.()微训练1.等差数列an中a12,a23,则其前10项的和S10_.解析由a12,a23得d1,故S1010a1109d1024565.答案652.等差数列an中,若a11,S2530,则公差d_.解析由S25252425d30,解得d.答案3.数列an为等差数列,它的前n项和为S
4、n,若Sn(n1)2,则的值是_.解析等差数列前n项和Sn的形式为Snan2bn,1.答案1微思考1.高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求123n,不知道共有奇数项还是偶数项怎么办?提示不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题:设Sn123(n1)n,又Snn(n1)(n2)21,2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1),2Snn(n1),Sn.2.能否用“倒序相加法”求首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和Sn呢?提示由上节课学到的性质:在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之
5、和等于首项与末项的和,即a1ana2an1a3an2.“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和,其方法如下:Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d;Snanan1an2a2a1an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d.两式相加,得2Sn(a1an)n,由此可得等差数列an的前n项和公式:Sn.根据等差数列的通项公式ana1(n1)d,代入上式可得Snna1d.题型一等差数列前n项和公式的基本运算【例1】在等差数列an中:(1)已知a5a1058,a4a950,求S10;(2)已知S742,Sn510,an345,求n.解(1)法一由
6、已知条件得解得S1010a1d1034210.法二由已知条件得a1a1042,S10542210.(2)S77a442,a46.Sn510.n20.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练1】(1)设Sn是等差数列an的前n项和.若a12 018,S62S318,则S2 020()A.2 018 B.2 018 C.2 019 D.2 020(2)(多选题)设等差数列an的前n项和为Sn(nN*),当首项a1和公差d变化时,若a1a8a15是定值,则下列各项中为定值的是()A.a7 B.a8 C.S15 D.S16解析(1)设等差数列an的
7、公差为d.a12 018,S62S318,6a1d6a12d18,整理可得9d18,解得d2.则S2 0202 020(2 018)22 020.故选D.(2)由a1a152a8,故a1a8a15是定值可得a8是定值,S1515(a1a15)15a8,故S15为定值,故选BC.答案(1)D(2)BC题型二等差数列前n项和性质的应用【例2】(1)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,求数列an的前3m项的和S3m;(2)两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn和Tn,已知,求的值.解(1)法一在等差数列中,Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列,30,70,S3m100成等差数列
8、.27030(S3m100),S3m210.法二在等差数列中,成等差数列,.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).规律方法等差数列前n项和运算的几种思维方法(1)整体思路:利用公式Sn,设法求出整体a1an,再代入求解.(2)待定系数法:利用当公差d0时Sn是关于n的二次函数,设SnAn2Bn(A0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设anb(a0)进行计算.(3)利用Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列进行求解.【训练2】(1)等差数列an的前n项和为Sn,若S36,S18S1518,则S18等于()A.36 B.18 C.72 D.9(2)已知等差
9、数列an和bn的前n项和分别为Sn和Sn,如果(nN*),则的值是()A. B. C. D.解析(1)由S3,S6S3,S18S15成等差数列知,S18S3(S6S3)(S9S6)(S18S15)36.(2)由等差数列前n项和的性质,得.答案(1)A(2)C题型三求数列|an|的前n项和【例3】若等差数列an的首项a113,d4,记Tn|a1|a2|an|,求Tn.解a113,d4,an174n.当n4时,Tn|a1|a2|an|a1a2anna1d13n(4)15n2n2;当n5时,Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an)S4(SnS4)2S4Sn2(15n2n2)562
10、n215n.Tn规律方法已知an为等差数列,求数列|an|的前n项和的步骤第一步,解不等式an0(或an0)寻找an的正负项分界点.第二步,求和:若an各项均为正数(或均为负数),则|an|各项的和等于an的各项的和(或其相反数);若a10,d0(或a10,d0),这时数列an只有前面有限项为正数(或负数),可分段求和再相加.【训练3】已知等差数列an中,Sn为数列an的前n项和,若S216,S424,求数列|an|的前n项和Tn.解设等差数列an的首项为a1,公差为d,由S216,S424,得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*).由an0,解得n5,则当n5时,Tn|a
11、1|a2|an|a1a2anSnn210n.当n6时,Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50,故Tn一、素养落地1.通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质,提升逻辑推理和数学运算素养.2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及a1,an,Sn,n,d五个量,若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用:若mnpq,则anamapaq(n,m,p,qN*),若mn2p,则anam2ap.3.求等差数列an前n项的绝对值之和,关键是找到an的正负项的分界点.二、素养训练1.
12、在等差数列an中,S10120,那么a1a10的值是()A.12 B.24 C.36 D.48解析S105(a1a10)120,a1a1024.答案B2.记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524,S648,则an的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8解析设an的公差为d,由得解得d4.答案C3.设Sn是等差数列an的前n项和,若,则()A.1 B.1 C.2 D.解析由于S2n1(2n1)an,则1.答案A4.设等差数列an的前n项和为Sn,且S42,S86,则S12_.解析因为 S4,S8S4,S12S8成等差数列,故2(S8S4)S4S12S8,即242S126,得S1212.答
13、案125.已知等差数列an中,(1)a1,d,Sn15,求n;(2)a11,an512,Sn1 022,求d.解(1)由Snn15,整理得n27n600,解之得n12或n5(舍去).(2)由Sn1 022,解之得n4.又由ana1(n1)d,即5121(41)d,解之得d171.基础达标一、选择题1.已知等差数列an满足a2a44,a3a510,则它的前10项和S10()A.138 B.135 C.95 D.23解析由a2a42a34得a32,由a3a52a410得a45,故公差d3,所以a14,则S1010(4)109395.答案C2.等差数列an的前n项和为Sn,若S24,S420,则数列
14、an的公差d等于()A.2 B.3 C.6 D.7解析由S2a1a24及S4a1a2a3a420,得a3a416,故(a3a4)(a1a2)4d,即4d12,d3.答案B3.等差数列an满足a1a2a324,a18a19a2078,则此数列的前20项和等于()A.160 B.180 C.200 D.220解析由a1a2a33a224得a28,由a18a19a203a1978得a1926,S2020(a1a20)10(a2a19)1018180.答案B4.等差数列an的前四项之和为124,后四项之和为156,各项和为210,则此数列的项数为()A.5 B.6 C.7 D.8解析由题意知a1a2a
15、3a4124,anan1an2an3156,4(a1an)280,a1an70.又Sn70210,n6.答案B5.在公差不为零的等差数列an中,Sn是其前n项和,且S2 011S2 016,SkS2 008,则正整数k为()A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020解析因为公差不为零的等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以由二次函数的对称性质及S2 011S2 016,SkS2 008,可得,解得k2 019.答案C二、填空题6.已知等差数列an的前n项和为Sn,且6S55S35,则a4_.解析设等差数列an的首项为a1,公差为d,由6S55S35,得3(a13d)
16、1,所以a4.答案7.张邱建算经卷上第22题为:今有女善织,日益功疾,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布,若第1天织5尺布,现在一月(按30天计)共织390尺布,则每天比前一天多织_尺布(不作近似计算).解析由题意知,该女每天的织布尺数构成等差数列an,其中a15,S30390,设其公差为d,则S30305d390,解得d.故该女子织布每天增加尺.答案8.等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,且,则_.解析.答案三、解答题9.设Sn为等差数列an的前n项和,若S33,S624,求a9.解设等差数列的公差为d,则S33a1d3a13d3,即a1d1,S66a1d6a115d24,即
17、2a15d8.由解得故a9a18d18215.10.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S10100,S10010,求S110.解法一设等差数列an的首项为a1,公差为d,S10100,S10010,解得S110110a1d110110.法二S10,S20S10,S30S20,S100S90,S110S100,成等差数列,设公差为d,该数列的前10项和为10100dS10010,解得d22,前11项和S11011100(22)110.能力提升11.已知等差数列an的前n项和为377,项数n为奇数,且前n项中,奇数项的和与偶数项的和之比为76,则中间项为_.解析因为n为奇数,所以,解得n13,所
18、以S1313a7377,所以a729.故中间项为29.答案2912.已知数列an的前n项和Snn2n,求数列|an|的前n项和Tn.解a1S1121101.当n2时,anSnSn13n104.n1也适合上式,数列an的通项公式为an3n104(nN*).由an3n1040,得n34.即当n34时,an0;当n35时,an0.(1)当n34时,Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn2n;(2)当n35时,Tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an)2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn2n2n3 502.故Tn创新猜想13.(多选题)已知Sn是等差
19、数列an的前n项和,下列选项中可能是Sn的图象的是()解析因为Sn是等差数列an的前n项和,所以Snan2bn(a,b为常数,nN*),则其对应函数为yax2bx.当a0时,该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点,如选项C;当a0时,该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点,如选项A,B;选项D中的曲线不过原点,不符合题意.答案ABC14.(多空题)若数列an是正项数列,且n23n(nN*),则an_,_.解析令n1,得4,a116.当n2时,(n1)23(n1).与已知式相减,得n23n(n1)23(n1)2n2.an4(n1)2.又n1时,a1满足上式,an4(n1)2(nN*).4n4,2n26n.答案4(n1)22n26n