1、第一课时导数与函数的单调性(一)课标要求素养要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.通过利用导数研究函数的单调性，结合函数的图象对其加以理解，发展学生数学运算和直观想象素养.新知探究竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度h是时间t的函数，设hh(t)，其图象如图所示.横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度h，设沙袋的最高点为A，其横坐标为tt0. 小沙袋从a到t0这段时间内运动速度越来越小，从t0到b这段时间内，运动速度越来越大.问题怎样才能更深刻地研究速度变化的各区间呢？提示学习本课后，我们可以
2、利用导数来判断函数的单调性，从而可研究速度变化的各个区间.函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f(x)0单调递减f(x)0常函数f(x)0拓展深化微判断1.函数f(x)在定义域上都有f(x)0.()提示反例：f(x)x3，x(1，1)，当x0时，f(0)0.3.函数yx3x的单调递增区间为(，).()微训练1.函数f(x)2xcos x在(，)上()A.是增函数 B.是减函数C.单调性不确定 D.是奇函数解析
3、f(x)2sin x0，f(x)在(，)上是增函数.答案A2.函数f(x)x33x的单调增区间是_.解析f(x)3x23，令f(x)0得x21，即x1或x0，又x0，0x0的什么条件？提示必要不充分条件.2.若函数f(x)的增区间是A，且f(x)在区间B上单调递增，那么A与B是什么关系？提示BA题型一函数图象与导函数图象的关系【例1】(1)已知f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()(2)已知函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示，则满足f(x)f(x)的x的取值范围为()A.(0，4)B.(，0)(1，4)C.D.(0，1)(4，)解析(1)由题意
4、可知，当x2时，导函数f(x)0，函数f(x)是增函数，故函数f(x)的图象如图D.(2)观察图象，可得导函数f(x)的图象过点(0，0)，原函数f(x)的图象过点(0，0)，(2，0)，观察图象可得满足f(x)0时，yf(x)是增加的；当f(x)0，解得x1或x1；令f(x)0，解得1x1或1x0，即解得x1；若y0，即解得0x0，函数在解集与定义域的交集上为增函数.(4)解不等式f(x)0，函数在解集与定义域的交集上为减函数.【训练2】求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)sin xx(0x0得6x26x360，解得x2；由f(x)0解得 3x2.故f(x
5、)的增区间是(，3)，(2，)；减区间是(3，2).(2)f(x)cos x1.因为0x，所以cos x10和f(x)0，函数在(0，6)上单调递增.答案A2.已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为()A.(2，0)(2，)B.(，2)(2，)C.(，1)(1，)D.(2，1)(1，2)解析因为f(x)在(，1)，(1，)上是增函数，所以在区间(，1)和(1，)上f(x)0.答案C3.函数f(x)3xln x的单调递增区间是()A. B.(e，)C. D.解析f(x)ln x1(x0)，令f(x)0，即ln x10，得x.故函数f(x)的单调递增区间为
6、.答案C4.函数f(x)x3x23x2的单调增区间是_.解析f(x)x22x3，令f(x)0，解得x3，故f(x)的单调增区间是(，1)，(3，).答案(，1)，(3，)5.函数f(x)x2cos x，x(0，)的单调递减区间是_.解析由f(x)12sin x，又x(0，)，x，故答案为.答案基础达标一、选择题1.函数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减解析易知f(x)sin x1，x(0，)，f(x)0，则f(x)cos xx在(0，)上单调递减.答案D2.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x
7、)的图象可能是()解析由函数yf(x)的图象，知当x0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知yf(x)的图象可能为D.答案D3.已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是()解析由yf(x)的图象知，yf(x)为增函数，且在区间(1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B.答案B4.函数f(x)ln x4x1的单调递增区间为()A. B.(0，4)C. D.解析f(x)ln x4x1的定义域是x|x0，f(x)4，当f(x)0时，解得0x.答案A5.已知函数yxf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()解析由函数yx
8、f(x)的图象可知：当x1时，xf(x)0，此时f(x)单调递增；当1x0，则f(x)0，此时f(x)单调递减；当0x1时，xf(x)0，则f(x)1时，xf(x)0，则f(x)0，此时f(x)单调递增.故选C.答案C二、填空题6.(多空题)函数yx24xa的增区间为_，减区间为_.解析y2x4，令y0，得x2；令y0，得x0)的单调递增区间是_.解析f(x)(a0)，令f(x)0，解得1x0得x2或0x0；当x(1，0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)和(0，)上单调递增，在(1，0)上单调递减.10.已知函数f(x)(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的
9、切线与x轴平行.(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)由f(x)，可得f(x).曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，f(1)0，即0，解得k1.(2)由(1)已知，f(x)(x0)，设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0.可知h(x)在(0，)上为减函数，由h(1)0知，当0xh(1)0，从而f(x)0.当x1时，h(x)h(1)0，从而f(x)0.综上可知f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，).能力提升11.已知函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图所示.记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式xf(x)0的解集为()A.0，
10、12，3)B.1，2C.2，3)D.解析对于不等式xf(x)0，当x时，f(x)0；当x0，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为；当0x1和2x3时，f(x)0；当1x2时，f(x)0，则结合图象，知原不等式的解集为0，12，3).综上，原不等式的解集为0，12，3).答案A12.已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间.解(1)因为f(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50.所以f(1)，且12f(1)50，即f(1)2，即2，又f(x)，所以.由得a2，b3.(b10，b1舍去)
11、所以所求函数的解析式是f(x).(2)由(1)知，f(x).令2x212x60，解得x132，x232，则当x32时，f(x)0；当32x0.f(x)的单调递增区间是(32，32)；单调递减区间是(，32)和(32，).创新猜想13.(多选题)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是()A.f(x)2x B.f(x)x22C.f(x)3x D.f(x)cos x解析设g(x)exf(x)，对于A，g(x)ex2x在定义域R上是增函数，故A正确；对于B，g(x)(x22)ex，g(x)(x22x2)ex(x1)21ex0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；对于C，g(x)ex3x在定义域R上是减函数，C不正确；对于D，g(x)excos x，则g(x)excos，g(x)0在定义域R上不恒成立，D不正确.答案AB14.(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数yf(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.f(b)f(a) B.f(d)f(e)C.f(a)f(d) D.f(c)f(e)解析由题图可得，当x(，c)(e，)时，f(x)0，当x(c，e)时，f(x)f(a)，f(d)f(e)，f(c)f(e).答案ABD