1、第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用基础过关练题组一对均值不等式的理解1.不等式(x-2y)+1x-2y2成立的前提条件为()A.x2yB.x2yC.x2yD.x0,y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是()A.1x+y14B.1x+1y1C.xy2D.1xy13.给出下列条件:ab0;ab0,b0;a0,b2xC.1x2+11D.x+1x25.若a0,b0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是()A.1ab12B.1a+1b1C.ab2D.1a2+b218题组二利用均值不等式比较大小6.若a,bR,则a2+b2与2|ab|的大小关系是()A.a2+b22|ab|B.
2、a2+b2=2|ab|C.a2+b22|ab|D.a2+b22|ab|7.已知a0,b0,且ab,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是()A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b8.若0a1,0b0,y0,x+3y=1,则1x+13y的最小值为()A.2B.22C.4D.2313.若函数y=x+1x-2(x2)在x=a处取得最小值,则a=()A.1+2B.1+3C.3D.414.已知x52,则y=x2-4x+52x-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值115.已知t0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为()A.-2B.12C.1D.216.
3、(2020贵州遵义高一下期中)已知x0,14,则x(1-4x)取得最大值时x的值为()A.14B.16C.18D.11017.(2020江西师范大学附属中学高一下期中)函数y=3+x+x21+x(x-1)的最小值是()A.23B.23-1C.23+1D.23-218.(2020福建师大附中高二上月考)已知a0,b0,若不等式2a+1bm2a+b恒成立,则m的最大值等于()A.10B.9C.8D.7题组四利用均值不等式进行证明19.设x0,求证:x+22x+132.20.已知a,b,c为不全相等的正实数.求证:a+b+cab+bc+ca.21.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证
4、:a+b+c0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x)倍.现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x)万元,其中a0.(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润,求x的取值范围;(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润,求a的最大值.能力提升练一、单项选择题1.(2020吉林白城洮南第一中学高一第一次月考,)若关于x的不等式x2+2xab+16ba对任意的正数a,b恒成立,则实数x的取值范围是()A.x|-2x0B.x|x0C.x|-4x2D.x|x22.()已知b=a2+1a2,则|ab|的最小值为
5、()A.5B.4C.2D.13.(2020黑龙江牡丹江一中高一期中,)已知0x0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.56.()已知正整数a,b满足4a+b=30,则使1a+1b取得最小值的实数对(a,b)是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)7.()若3xy=x+y+1且x0,y0,则xy的最小值为()A.1B.2C.3D.48.(2020浙江杭州学军中学高一上月考,)若正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为()A.0B.3C.94D.1二、多项选择题9.()下列不等式一定成立
6、的是()A.x2+14x(x0)B.x+1x2(x0)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)10.()下列结论正确的是()A.当x0时,x+1x2B.当x2时,x+1x的最小值是2C.当x0,y0时,xy+yx211.()设a0,b0,下列不等式恒成立的是()A.a2+1aB.a+1ab+1b4C.(a+b)1a+1b4D.若1a+1b=1,则ab4三、填空题12.()若x1,则不等式x2+3x-1的最小值为.13.()已知x-1,则函数y=(x+10)(x+2)x+1的最小值为.14.(2020福建连城一中高一上月考,)若对任意x0,xx2+3x+1a恒成立,则a的取值范围是.
7、15.(2020浙江丽水高一期末,)若正数a,b满足a2+4b2+1ab=4,则a=,b=.四、解答题16.(2020山东济南外国语学校高一期中,)已知函数y=x2-x+m.(1)当m=-2时,求不等式y0的解集;(2)若m0,y0的解集为x|ax0,b0,c0,求证:a2b+b2c+c2aa+b+c.18.(2020安徽六安舒城中学高一上第二次月考,)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,每件产品的销售价为“平均每件产品生产成
8、本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和,该企业生产的产品恰好当年完成销售.(1)试写出年利润W(万元)关于年广告费x(万元)的函数解析式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?19.()设ab0,求a2+1ab+1a(a-b)的最小值.20.()为迎接北京冬奥会,某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌,该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目,这三个矩形栏目的面积之和为60 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,栏目与栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm,怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸(单位:cm),使整个矩形广告牌面积最小?21.(2020
9、山东济南历城二中十月月考,)已知关于x的不等式x2-2mx+m+20(mR)的解集为M.(1)当M为空集时,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5m+1的最小值;(3)当M不为空集,且Mx|1x4时,求实数m的取值范围.答案全解全析第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用基础过关练1.B2.B3.C4.C5.D6.A7.D8.D9.A11.A12.C13.C14.D15.A16.C17.B18.B22.B23.C24.A1.B因为均值不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y0,即x2y.故选B.2.B解法一:取x=1,y=2,满足x+y4,排除A、
10、C、D,故选B.解法二:0x+y4,1x+y14,故A不成立;4x+y2xy,xy2,故C不成立;由xy2得0xy4,1xy14,故D不成立;1x+1y=x+yxy2xyxy=2xy,0xy2,1xy12,1x+1y1,故B成立.3.C当ba,ab均为正数时,ba+ab2,故只需a,b同号即可,则均满足要求.故选C.4.C对于A,当x0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x=1时,x2+1=2x,故B不恒成立;对于D,当x0,b0,a+b=4,aba+b2=2,ab4,1ab14,1a+1b=a+bab=4ab1,故A、B、C均不成立.故选D.6.A因为a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|
11、)20,所以a2+b22|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号成立).7.Da0,b0,2aba+b=21a+1baba+b2a2+b22,当且仅当a=b时,等号成立,又ab,等号取不到,2aba+b最小.8.D0a1,0b2ab,a+b2ab,aa2,bb2,a+ba2+b2.9.AA.x20,3x20,x2+3x22x23x2=23,当且仅当x2=3x2,即x2=3时,等号成立,故A项正确.B.当a=1,b=1时,a2+b20,b0时,aba+b2,故不正确;D.当a0时,a+4a4成立,故不正确.10.答案xa+b2解析由题意可得(1+x)2=(1+a)(1+b)1+a+1+b22=1
12、+a+b22,当且仅当a=b时,等号成立,所以1+x1+a+b2,即xa+b2.11.A当a,b为正实数时,由aba+b2,得aba+b22=222=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.ab的最大值为1.12.Cx0,y0,x+3y=1,1x+13y=1x+13y(x+3y)=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4,当且仅当3yx=x3y,即x=3y=12时取等号,故1x+13y的最小值为4.故选C.13.Cx2,x-20,y=x+1x-2=(x-2)+1x-2+22(x-2)1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x2),即x=3时,等号成立,a=3.14.Dy=x2-4x+52x-4
13、=(x-2)2+12(x-2)=12(x-2)+1x-2,因为x52,所以x-20,所以y=x2-4x+52x-4=12(x-2)+1x-2122(x-2)1x-2=1.当且仅当x-2=1x-2,即x=3时取等号.所以y=x2-4x+52x-4有最小值,最小值为1.15.A因为t0,所以y=t2-4t+1t=t+1t-42t1t-4=-2,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立.故函数的最小值为-2.故选A.16.C因为x0,14,所以4x0,1-4x0,所以x(1-4x)=144x(1-4x)144x+1-4x22=116,当且仅当4x=1-4x,即x=18时,等号成立.17.Bx-1,x+
14、10,y=3+x+x21+x=31+x+x=31+x+x+1-123-1,当且仅当31+x=x+1,即x=3-1时等号成立,所以y=3+x+x21+x(x-1)的最小值为23-1.故选B.18.B因为a0,b0,2a+1bm2a+b,所以m2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab.又因为5+2ba+2ab5+4=9,当且仅当a=b时等号成立,所以m9,故m的最大值为9.19.证明因为x0,所以x+120,所以x+22x+1=x+1x+12=x+12+1x+12-122x+121x+12-12=32.当且仅当x+12=1x+12,即x=12时,等号成立.20.证明a0,b0,c0,a+b2ab
15、0,b+c2bc0,c+a2ca0,2(a+b+c)2(ab+bc+ca),即a+b+cab+bc+ca.又a,b,c为不全相等的正实数,式中三个等号不能同时成立.a+b+cab+bc+ca.21.证明因为a,b,c都是正实数,且abc=1,所以1a+1b21ab=2c,1b+1c21bc=2a,1a+1c21ac=2b,以上三个不等式相加,得21a+1b+1c2(a+b+c),又因为a,b,c不全相等,所以此式不能取等号,所以a+b+c0,h0),则有2a+2(2h)+2(ah)=32,即a+2h+ah=16,a+2h+ah22a+ah,当且仅当a=2h时,等号成立,1622a+ah,即(a
16、)2+22a-160,解得0a22,0b),先称得的黄金的实际质量为m1,后称得的黄金的实际质量为m2.由杠杆的平衡原理,得bm1=a5,am2=b5,解得m1=5ab,m2=5ba,则m1+m2=5ab+5ba,所以(m1+m2)-10=5ab+5ba-1025ab5ba-10=0,当且仅当5ab=5ba,即a=b时,等号成立.又因为ab,所以(m1+m2)-100,即m1+m210.所以顾客实际所得黄金质量大于10 g.25.答案400解析设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为320000+2n2+48nn=320000n+2n+482320000n2n+48=1 600+48=1 64
17、8,当且仅当320000n=2n,即n=400时,等号成立,故一共使用了400天.26.解析(1)由题意,得1.5(1+0.005x)(500-x)1.5500,整理,得x2-300x0,解得0x300,又x0,故00,ax125+500x+1.5恒成立,又x125+500x4,当且仅当x=250时等号成立,00,b0,所以ab+16ba2ab16ba=8(当且仅当a=4b时,等号成立),由题意得x2+2x8,解得-4x2.2.C由题意得|ab|=a2+1a=|a|+1|a|2,当且仅当|a|=1|a|,即a=1时,等号成立,故|ab|的最小值为2.3.B12x+21-x=12x+21-x=5
18、2+12(1-x)x+2x1-x.0x0,12(1-x)x+2x1-x212(1-x)x2x1-x=2,当且仅当12(1-x)x=2x1-x,即x=13时,等号成立.12x+21-x的最小值为52+2=92.4.D12+x+12+y=13可化为xy=8+x+y,x,y均为正实数,xy=8+x+y8+2xy(当且仅当x=y时,等号成立),即xy-2xy-80,解得xy4,即xy16,则xy的最小值为16,故选D.5.C因为a0,b0,所以1a+1b+2ab21ab+2ab=21ab+ab4,当且仅当1a=1b,且1ab=ab,即a=b=1时,等号成立,故选C.6.A1a+1b=1304a+ba+
19、4a+bb=1305+ba+4ab1305+2ba4ab=310,当且仅当ba=4ab,即b=2a时取等号,又4a+b=30,所以当a=5,b=10时,1a+1b取得最小值.故选A.7.A因为x0,y0,所以3xy=x+y+12xy+1,所以3xy-2xy-10,即3(xy)2-2xy-10,所以(3xy+1)(xy-1)0,所以xy1,所以xy1,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以xy的最小值为1.8.D由正数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2,xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-312xy4yx-3=1,当且仅当x=2y0时取等号,此时z
20、=2y2.2x+1y-2z=22y+1y-22y2=-1y-12+11,当且仅当y=1时取等号,即2x+1y-2z的最大值为1.二、多项选择题9.BC对于A,当x=12时,x2+14=x,所以A不一定成立;对于B,当x0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立,所以B一定成立;对于C,不等式显然恒成立,所以C一定成立;对于D,因为x2+11,所以00时,x0,x+1x2,当且仅当x=1时取等号,结论正确;在B中,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取等号,而x2,故等号取不到,因此当x2时,x+1x的最小值不是2,结论错误;在C中,因为x0,则y=4x-2+14x-5
21、=-5-4x+15-4x+3-2(5-4x)15-4x+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时取等号,结论错误;显然D正确.故选AD.11.ABCa2+1-a=a-122+340,a2+1a,故A恒成立;a+1a2,b+1b2,a+1ab+1b4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;a+b2ab,1a+1b21ab,(a+b)1a+1b4,当且仅当a=b时,等号成立,故C恒成立;a0,b0,1=1a+1b21a1b,ab4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故D不恒成立.故选ABC.三、填空题12.答案6解析因为x1,所以x-10,所以x2+3x-1=(x-1)2+2(x-1)
22、+4x-1=(x-1)+4x-1+22(x-1)4x-1+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以x2+3x-1的最小值为6.13.答案16解析由x-1得x+10,则y=(x+1)+9(x+1)+1x+1=(x+1)2+10(x+1)+9x+1=(x+1)+9x+1+102(x+1)9x+1+10=6+10=16,当且仅当x+1=9x+1,即x=2或x=-4(舍去)时,等号成立,所以ymin=16.14.答案aa15解析因为x0,所以xx2+3x+1=1x+1x+312x1x+3=15,当且仅当x=1x(x0),即x=1时等号成立,故a的取值范围是aa15.15.答案1;12解析因为a2+4b2+
23、1ab=4,a2+4b2+1ab=(a-2b)2+4ab+1ab(a-2b)2+24ab1ab=(a-2b)2+44,当且仅当a-2b=0且4ab=1ab,即a=1,b=12时,等号成立,所以a=1,b=12.四、解答题16.解析(1)当m=-2时,y=x2-x+m=x2-x-2,当y0时,x2-x-20,由x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2,故不等式y0的解集为x|x2.(2)y0的解集为x|ax0,a0,b0,1a+4b=1a+4b(a+b)=ba+4ab+52ba4ab+5=9,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=23时,等号成立.故1a+4b的最小值为9.17.证明a0,b0,
24、c0,a2b,b2c,c2a均大于0,a2b+b2a2bb=2a,b2c+c2b2cc=2b,c2a+a2c2aa=2c,当且仅当a=b=c时,等号同时成立,三式相加得a2b+b+b2c+c+c2a+a2a+2b+2c,a2b+b2c+c2aa+b+c.18.解析(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件产品的销售价为32Q+3Q150%+xQ50%万元,年销售收入为32Q+3Q150%+xQ50%Q=32(32Q+3)+12x万元, W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x0). (2)令x+1=t(t
25、1),则W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-t2+32t. t1,t2+32t2t232t=8,当且仅当t2=32t,即t=8时,等号成立,W的最大值为50-8=42,此时x=7.即当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元.19.解析因为ab0,所以a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=ab+1ab+a(a-b)+1a(a-b)2+2=4,当且仅当ab=1,a(a-b)=1,即a=2,b=22时,等号成立.所以当a=2,b=22时,a2+1ab+1a(a-b)取得最小值4.20.解析设每个矩形栏目的高为a cm,宽为b cm
26、(其中a0,b0),则ab=20 000,b=20000a,整个矩形广告牌的高为(a+20)cm,宽为(3b+30)cm,整个矩形广告牌的面积S=(a+20)(3b+30)=30(a+2b)+60 600=30a+40000a+60 600302a40000a+60 600=12 000+60 600=72 600,当且仅当a=40000a,即a=200时,取等号,此时b=100.故当矩形栏目的高为200 cm,宽为100 cm时,可使整个矩形广告牌的面积最小.21.解析(1)M为空集,=4m2-4(m+2)0,即m2-m-20,解得-1m2,实数m的取值范围为m|-1m2.(2)由(1)知-1m2,则0m+13,m2+2m+5m+1=(m+1)2+4m+1=(m+1)+4m+12(m+1)4m+1=4,当且仅当m+1=4m+1,即m=1时等号成立.所以m2+2m+5m+1的最小值为4.(3)x2-2mx+m+2=(x-m)2-m2+m+2,当M不为空集时,由Mx|1x4,得=4m2-4(m+2)0,12-2m+m+20,42-8m+m+20,1m4,解得2m187.故实数m的取值范围为m|2m187.