1、第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质基础过关练题组一不等关系与不等式1.实数m不超过2,是指()A.m2B.m2C.m2D.m22.完成一项装修工程,请木工每人需付工资500元,请瓦工每人需付工资400元,现有工人工资预算20 000元,设木工请x人,瓦工请y人,则x,y应满足的关系式是()A.5x+4yNB.MNC.M=ND.M与N的大小关系与x有关5.(2020河北正定一中期中)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定6.已知|a|1,则1a+1与1-a的大小关系为()A.1a+11-aC.1a+1
2、1-aD.1a+11-a7.(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中xR;(2)设x,y,zR,比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的大小.题组三不等式的性质及其推论8.(2020山西运城新绛中学、河津中学等校高一上10月联考)若ab,cd,则下列不等关系中不一定成立的是()A.a-bc-dB.a+cb+dC.a-cb-cD.a-ca-d9.如果a2+aa-a2-aB.-aa2-a2aC.-aa2a-a2D.a2-aa-a210.已知a,b为非零实数,且ab,则下列不等式成立的是()A.a2b2B.ab2a2bC.1ab21a2bD.bab,则ac2bc2B.若ababb2C.若a
3、b0,则1a1bD.若abab题组四求代数式的取值范围12.已知0,12,0,12,则2-3的取值范围是()A.0,56B.-16,56C.(0,1)D.-16,113.(2020山东菏泽第一中学等六校高一上第一次联考)已知-12s+t2,3s-t4,则5s+t的取值范围是.(用区间表示)14.已知12a60,15b36,则ab的取值范围为.15.已知-3ba-1,-2cyz,且x+y+z=1.下列不等式中成立的是()A.xyyzB.xyxzC.xzyxD.x|y|z|y|2.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足x+y+z=0,xyz0,若T=1x+1y+1z,则()A
4、.T0B.Tbc2,则ab;若|a-2|b-2|,则(a-2)2(b-2)2;若abc0,则aba+cb+c;若a0,b0,a+b4,ab4,则a2,b2.A.1B.2C.3D.44.(2020湖南长沙一中高一上第一次阶段性检测,)若P=a+2+a+3,Q=a+a+5,a0,则P与Q的大小关系为()A.PQB.P=QC.PQD.由a的取值确定5.(2020辽宁六校高一上第一次联考,)有3个房间需要粉刷,粉刷方案为:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xyz,三种颜料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且ab0;cadb
5、;bcab,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可组成真命题的为()A.B.C.D.不能组成真命题三、填空题7.()若abc,则1a-b+1b-c3a-c .(填“”“=”或“”)8.()不等式组x+y1,x-2y4的解集记为D,有下面四个命题:p1:(x,y)D,x+2y-2,p2:(x,y)D,x+2y2,p3:(x,y)D,x+2y3,p4:(x,y)D,x+2y-1,其中是真命题的是.四、解答题9.()已知-12a0,A=1+a2,B=1-a2,C=11+a,D=11-a,试猜测A,B,C,D的大小关系,并证明.10.()若实数m,n满足-12m+3n2,-3m-n1,求3m+4n
6、的取值范围.11.(2020安徽合肥七中高一上第一次段考,)已知a,b,c,d为实数,求证:(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).答案全解全析第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质基础过关练1.D2.D4.A5.B6.C8.A9.B10.C11.B12.D1.D“不超过”就是“小于或等于”.故选D.2.D根据题意可知500x+400y20 000,即5x+4y200.故选D.3.答案12x-y=9610x-y51解析由题意可得12(x-1)-y=84,10(x-1)40,即12x-y=96,10x-y51.4.AM-N=3x2-x+1-(x2+x-1)=2x2-2x+2
7、=2x-122+320,MN.5.B由题意得M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),a1,a2(0,1),(a1-1)(a2-1)0,故MN.故选B.6.C解法一:令a=0,则1a+1=1-a,排除A、B;令a=12,则1a+11-a,排除D.故选C.解法二:|a|0,a20,1a+1-(1-a)=a2a+10,1a+11-a.故选C.7.解析(1)x6+1-(x4+x2)=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)2(x2+1)0,x6+1x4+x2,当且仅当x=1时取等号.(2)(5x2+y2+z2)-(2xy+4x+2
8、z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)20,5x2+y2+z22xy+4x+2z-2,当且仅当x=y=12且z=1时取等号.8.A对于A,若a=0,b=-1,c=3,d=-2,显然a-bb,cd,知a+cb+d,故B一定成立;对于C,由ab,知a-cb-c,故C一定成立;对于D,由cd,知-c-d,则a-ca-d,故D一定成立.9.B解法一:a2+a0,0a2-a2a,a-a2a2-a.故选B.解法二:取特殊值检验,a2+a0,a(a+1)14-14-12,-aa2-a2a,排除A、C、D.故选B.10.C对于A,可举反例,如-
9、212,故A不成立;对于B,ab2-a2b=ab(b-a),而ab的符号不确定,故B不一定成立;对于C,因为1ab2-1a2b=a-ba2b2,a0,所以1ab2-1a2b0,即1ab21a2b,故C成立;对于D,要使baab成立,即b2-a2ab0成立,需b2-a2与ab异号,而b2-a2,ab的符号都不确定,故D不成立.故选C.11.B对于A选项,若c=0,则ac2=bc2,故A不正确;对于B选项,ab0,在不等式aab,在不等式ab2,a2abb2,故B正确;对于选项C,在a0),可得1b1a,故C不正确;对于选项D,令a=-2,b=-1,则有ab=-2-1=2,ba=12,baab,故
10、D不正确.12.D因为012,012,所以021,0316,-16-30,所以-162-31.故选D.13.答案(1,8)解析因为-12s+t2,所以-24s+2t4,又因为3s-t4,所以15s+t8,所以5s+t的取值范围是(1,8).14.答案13,4解析由015b36得01361b115,而012a60,根据不等式性质的推论可得12136a1b11560,即13ab4,所以ab的取值范围为13,4.15.答案(0,8)解析由题意得0a-b2,1c24,所以0(a-b)c2yz,且x+y+z=1,x0,xyxz.故选B.2.B因为x+y+z=0且xyz0,不妨设x0,则y0,z0,z0,
11、所以xz0.又因为-y20,所以-y2+xz0,所以Tbc2时,c20,两边同时除以c2,得ab,故正确;|a-2|b-2|0,那么|a-2|2|b-2|2,即(a-2)2(b-2)2,故正确;ab-a+cb+c=a(b+c)-b(a+c)b(b+c)=c(a-b)b(b+c) ,abc0,c(a-b)0,b(b+c)0,aba+cb+c,故正确;令a=10,b=12,满足a+b4,ab4,不满足b2,故不正确.故共有3个正确.4.AP2=2a+5+2(a+2)(a+3)=2a+5+2a2+5a+6,Q2=2a+5+2a(a+5)=2a+5+2a2+5a,因为a2+5a+6a2+5a,所以P2
12、Q2,又P0,Q0,所以PQ.5.D因为xyz,ab0,故ax+by+czaz+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)0,故ay+bz+cxay+bx+cz.因为az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)0,故az+by+cxdbbc-adab0.由ab0,bcad,得成立,即;若ab0,bc-adab0,则bcad,即;若bcad,bc-adab0,则ab0,即.故选ABC.三、填空题7.答案解析abc,a-b0,b-c0,a-c0,1a-b+1b-c-3a-c=(a-b+b-c
13、)(a-c)-3(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)=(a-b)+(b-c)2-3(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)=(a-b)-(b-c)2+(a-b)(b-c)(a-b)(b-c)(a-c)0,1a-b+1b-c3a-c.8.答案p1,p2解析设x+2y=m(x+y)+n(x-2y),则1=m+n,2=m-2n,解得m=43,n=-13.因为x+y1,x-2y4,所以43(x+y)43,-13(x-2y)-43,所以x+2y=43(x+y)-13(x-2y)0,故命题p1,p2是真命题,p3,p4是假命题.四、解答题9.解析-12aABD.证明如下:C-A=1
14、1+a-(1+a2)=-a(a2+a+1)1+a=-aa+122+341+a.1+a0,-a0,a+122+340,CA.A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a20,AB.B-D=1-a2-11-a=a(a2-a-1)1-a=aa-122-541-a,-12a0.又a-122-54-12-122-54D.综上所述,CABD.10.解析依题意,令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n),则2x+y=3,3x-y=4,解得x=75,y=15,所以3m+4n=75(2m+3n)+15(m-n),因为-12m+3n2,-3m-n1,所以-75-353m+4n145+15,即-23m+4n3.故3m+4n的取值范围是(-2,3.11.证明因为a,b,c,d均为实数,所以(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)=(a2c2+2acbd+b2d2)-(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)=2acbd-a2d2-b2c2=-(ad-bc)20,所以(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).