1、第四章质量评估(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1 B0 C1 D6B解析：在等差数列an中，若a24，a42，则a4(a2a6)(4a6)2，解得a60.故选B.2已知等比数列an的公比为2，且a2a51，则a4a7()A8 B8 C4 D4D解析：由题意可知a4a7(a2a5)(2)24.3若Sn是等差数列an的前n项和，且S10S314，则S13的值为()A12 B18 C22 D26D解析：根据题意得S10S3a4a5a6a7a8a9a107a714，所以a72，S1313a726.
2、故选D4已知等比数列an的前n项和为Sn，且9S3S6，a21，则a1()A B C D2A解析：9S3S6，9，9(1q3)1q6，1q39，q2.a1.5在数列an中，若a11，an1an2n，则an等于()A2n1 B2n13 C2n1 D2n11A解析：an1an2n，an1an2n.a2a12，a3a222，a4a323，anan12n1.相加得ana1222232n12n2.an2n1.6已知数列2，4，6，8，则其前n项和Sn为()An2n1 Bn2nCn21 Dn2n2A解析：an2n，Snn2n1.7已知数列an是递增的等比数列，且a4a62aa2a4144，则a5a3()A
3、6 B8 C10 D12D解析：an是递增的等比数列，a5a30.a4a6a，aa3a5，a2a4a，a4a62aa2a4144可化为a2a3a5a144，即(a5a3)2144，a5a312.故选D8已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时等式成立，则还需要再证()Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立B解析：根据数学归纳法的步骤可知，nk(k2且k为偶数)的下一个偶数为nk2.故选B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9已知等比数列an的前n项和为Sn，下列数列中一定是等比数列的有()Aa Ba
4、nan1Clg an DSn，S2nSn，S3nS2nAB解析：由数列an为等比数列可知，q(q0)，对于A，q2，故A项中的数列是等比数列；对于B，q20，故B项中的数列是等比数列；对于C，不一定为常数，即lg an不一定为等比数列；对于D，若an(1)n，为等比数列，公比为1，则Sn有可能为0，即Sn，S2nSn，S3nS2n不一定成等比数列故选AB.10在等差数列an中，a660，且a67|a66|，Sn为数列an的前n项和，则()A公差d0Ba66a670CS1310的n的最小值为132CD解析：a660，且a67|a66|，d0，a67a66，即a67a660，S13266(a1a1
5、32)66(a66a67)0，S131131a660的n的最小值为132.11已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为整数的正整数n的值为()A2 B3 C4 D14ACD解析：由题意可得，则3.由于为整数，则n1为15的正约数，则n1的可能取值有3,5,15，因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD12对于数列an，若存在正整数k(k2)，使得akak1，akak1，则称ak是数列an的“谷值”，k是数列an的“谷值点”在数列an中，若an，下面不能作为数列an的“谷值点”的是()A3 B2 C7 D5AD解析：an，故a12，a2，a32，a4，a5，a
6、6，a7，a8.故a2a2，a3a2，故2是“谷值点”；a6a7，a8a7，故7是“谷值点”；a40，q2.a1a1q3a13.a11.a3a1q24.14.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是_4解析：S偶S奇5d20，d4.15.已知数列an满足anan13anan1(nN*)，数列bn满足bn，且b1b2b990，则b5_，b4b6_.1091解析：由题意可得3，即数列bn是公差为3的等差数列，由b1b2b990，得b510，所以b47，b613，b4b691.16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个
7、常数称为该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为5，那么这个数列的前41项的和为_92解析：由题意可得，a12，a2，a32，a4，a392，a40，a412，S4121(2)2092.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)数列an的前n项和为Sn，已知an5Sn3(nN*)，求数列an的通项公式解：当n1时，a15S135a13，得a1.当n2时，由已知an5Sn3，得an15Sn13.两式作差得anan15(SnSn1)5an，anan1，数列an是首项a1，公比q的等比数列ana1qn1n1.18.(12分)已知Sn为等差数列an的前n项和，a18，S1010.
8、(1)求an，Sn；(2)设Tn|a1|a2|an|，求Tn.解：(1)S1010a145d8045d10，d2.an82(n1)102n，Sn9nn2.(2)令an0，得n5.当n5时，TnSn9nn2；当n6时，TnSn2S5n29n40，Tn19.(12分)已知数列an满足(nN*)，且a3，a23a5.(1)求an的通项公式；(2)若bn3anan1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.(1)解：由(nN*)可知数列为等差数列由已知得5，.设其公差为d，则2d5，d，解得1，d2，于是12(n1)2n1，整理得an.(2)由(1)得bn3anan1，所以Sn.20.(12分)某地区原有
9、森林木材存量为a，且每年增长率为25%.因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量(1)求an的表达式(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于a.如果ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(lg 20.30)解：(1)设第一年后的森林木材存量为a1，第n年后的森林木材存量为an，a1abab，a2a1bb2ab，a3a2b3ab.由上面的a1，a2，a3推测annabna4b(其中nN*)证明如下：当n1时，a1ab，结论成立假设当nk时，akka4b成立，则当nk1时，ak1akbbk1a4b.也就是说，当n
10、k1时，结论也成立由可知，anna4b对一切nN*成立(2)当ba时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须小于a，na4a5.两边取对数得nlglg 5，即n7.经过8年后该地区就会发生水土流失.21.(12分)已知数列an的前n项和Sn2an2n.(1)求a1，a2；(2)设cnan12an，证明：数列cn是等比数列；(3)求数列的前n项和Tn.(1)解：a1S1,2a1S12，a1S12.由2anSn2n，知2an1Sn12n1an1Sn2n1，an1Sn2n1，a2S1222226.(2)证明：由题设和式知an12an(Sn2n1)(Sn2n)2n12n2n，即cn2n，2(常数)c1212，cn是首项为2，公比为2的等比数列(3)解：cn2n，.数列的前n项和Tn，Tn，两式相减，得Tn.Tn.22.(12分)已知数列an的前n项和Snann2n2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn且数列bn的前n项和为Tn，求T2n.解：(1)由于Snann2n2，所以当n2时，Sn1an1(n1)2(n1)2，两式相减得ananan1n1，于是an1n1，所以ann2.(2)由(1)得bn所以T2nb1b2b3b2n(b1b3b2n1)(b2b4b2n)因为b1b3b2n1，b2b4b2n242n，于是T2n.