1、2020-2021学年吉林省白山市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1复数的实部是（）ABCD2已知数据x1，x2，x3，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2xn+3的方差是（）A3B6C9D123在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则（）ABCD4某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）AxyzBxyzCyxzDxxy5已知l，m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若，n，则
2、nB若m，m，则C若n，mn，则mD若m，n是异面直线，m，n，lm且ln，则l6某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）A该校高一年级有300名男生B该校高一年级学生体重在C区间的人数最多C该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175D该校高一年级学生体重在D区间的人数最少7在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（）ABCD8已知集合A2，0，3，且aA，bA，则函数f（x）ax2+3x+b有
3、零点的概率是（）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知复数z13+4i，z2a+bi（a，bR），则下列命题正确的是（）A若a3，则z1+z2是纯虚数B若z1+z2是纯虚数，则a3C若4a+3b0，则z1z2是实数D若z1z2是实数，则4a+3b010连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两次事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上
4、的点数之和是9”，则下列说法正确的是（）A事件A与事件B为对立事件B事件A与事件B相互独立C事件C与事件D是互斥事件D事件C与事件C相互独立11在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2bcosB，且bc，则（）AA2BB角B的取值范围是CcosA的取值范围是D的取值范围是12如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）AA1C1平面AB1CB异面直线B1C与AA1所成角的大小是C球O的表面积是20D点O到平面AB1C的距离是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13已知向量，
5、若，则x 14设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为 15已知4+3i是方程x2ax+b0（a，bR）的一个根，则a+b 16如图，已知两座山的高分别为MN30米，BC20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得MAN60，CAB45，BAN150，则MC 米四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量，的夹角为30，且|2，|（1）求|2|的值；（2）若（k）（2k），求k的值18某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4
6、组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩，得到如图所示的频率分布直方图组号分组频数频率第1组150，160）600.10第2组160，170）1500.25第3组170，180）2100.35第4组180，190）1500.25第5组190，200）300.05合计6001.00（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABB1ACC1ACB90，点O为A，B的中点，ACBC2，（1）证明：平面ACC1A1平面ABC；（2）求点B1到平面OA1C1的距离20端午节，又称端阳节
7、、龙舟节、天中节等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛已知在第一轮比赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响（1）分别求出A，B进入第二轮比赛的概率；（2）若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率21在asinB+bcosA0，（a+b+c）（abc）bc，bsin2A+asinB
8、0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_（1）求A；（2）若角A的角平分线AD1，且c3，求ABC面积的最小值22如图，在正四棱锥PABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且（1）证明：EF平面PAC（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题只有一个选项符合题目要求1复数的实部是（）ABCD解：由题意可得，复数z的实部是故选：C2已知数据x1，x2，x3，xn的方差为3，则数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2xn+3
9、的方差是（）A3B6C9D12解：数据x1，x2，x3，xn的方差为3，数据2x1+3，2x2+3，2x3+3，2xn+3的方差是22312故选：D3在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F是DE的中点，则（）ABCD解：点E是AB的中点，点F是DE的中点，故选：B4某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（）AxyzBxyzCyxzDxxy解：由题意可得，又z9.5，则xyz故选：A5已知l，m，n是不重合的直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A若，n，则nB若m，m，则
10、C若n，mn，则mD若m，n是异面直线，m，n，lm且ln，则l解：对于A，若/，n/，则n或n/，故A错误；对于B，若m/，m/，则/，或，相交，故B错误；对于C，若n，m/n，则m或m/，故C错误；对于D，若m，n是异面直线，m/，n/，lm，且ln，则由线面垂直的判定定理得l，故D正确故选：D6某校对该校800名高一年级学生的体重进行调查，他们的体重都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到如下统计图，则下列说法正确的是（）A该校高一年级有300名男生B该校高一年级学生体重在C区间的人数最多C该校高一年级学生体重在C区间的男生人数为175D该校高一年级学生体重在D区间的人数最少解：
11、由题意可得该校高一年级有60+80+120+40300名女生，则有800300500名男生，故男生体重在A，B，C，D区间内的人数分别为75，150，175，100，从而该校高一年级学生体重在A，B，C，D区间的人数分别为135，270，255，140，故选项A，B，D错误，选项C正确故选：C7在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为等边三角形，E，F分别是棱AB，PC的中点，则异面直线EF与PB所成角的正弦值是（）ABCD解：如图，分别取棱BC，AC的中点D，H，连接DE，DF，PH，BH由题意可得PHAC，BHAC，则AC平面PBH因为PB平面PBH，所以ACPB因为D
12、，F分别是棱BC，PC的中点，所以DF/PB，则DFE是异面直线EF与PB所成的角，因为D，E分别是棱BC，AB的中点，所以DE/AC，则DFDE，设AB4，则，因为平面PAC平面ABC，且PHAC，所以PHBH，所以，所以，则，故，故选：B8已知集合A2，0，3，且aA，bA，则函数f（x）ax2+3x+b有零点的概率是（）ABCD解：由题意可得总的基本事件数为9，当a0时，符合条件的基本事件有3个；当a0时，f（x）有零点，则94ab0，即，从而符合条件的基本事件有（2，3），（2，0），（3，2），（3，0），共4个故所求概率故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题
13、给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知复数z13+4i，z2a+bi（a，bR），则下列命题正确的是（）A若a3，则z1+z2是纯虚数B若z1+z2是纯虚数，则a3C若4a+3b0，则z1z2是实数D若z1z2是实数，则4a+3b0解：复数z13+4i，z2a+bi（a，bR），z1+z2a+3+（b+4）i，z1z2（3a4b）+（4a+3b）i，当a3且b4时，z1+z2是纯虚数，则A错误，B正确；当4a+3b0时，z1z2是实数，则C，D正确故选：BCD10连续抛掷一个质地均匀的骰子（每个面上对应的数字分别为1，2，3，4，5，6）两
14、次事件A表示“第一次正面朝上的点数是奇数”，事件B表示“第二次正面朝上的点数是偶数”，事件C表示“两次正面朝上的点数之和小于6”，事件D表示“两次正面朝上的点数之和是9”，则下列说法正确的是（）A事件A与事件B为对立事件B事件A与事件B相互独立C事件C与事件D是互斥事件D事件C与事件C相互独立解：由题意可知事件A与事件B相互独立，则A错误，B正确；事件C与事件D是互斥事件，但不是对立事件，则C正确，D错误故选：BC11在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2bcosB，且bc，则（）AA2BB角B的取值范围是CcosA的取值范围是D的取值范围是解：因为a2bcosB，所以
15、sinA2sinBcosBsin2B，所以A2B或A+2B因为bc，所以BC，所以A+2BA+B+C，则A2B，故A正确因为A+B+C，所以CAB3B因为ABC是锐角三角形，所以，即，解得，所以，利用正弦定理：，故B错误，D正确因为A2B，所以，所以，则C正确故选：ACD12如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等边三角形，点O为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的是（）AA1C1平面AB1CB异面直线B1C与AA1所成角的大小是C球O的表面积是20D点O到平面AB1C的距离是解：如图，由题意可知A1C1AC因为AC平面AB1C，A1C1平面AB1C，所以A1C1平面AB1C，故A正
16、确因为AA1CC1，所以B1CC1是异面直线B1C与AA1所成的角因为，所以，所以，故B错误设A1B1C1外接圆的圆心为O1，连接OO1，O1C1，OC1，由题意可得，则球O的半径，从而球O的表面积是，故C正确设AB1C外接圆的半径为r，由题意可得，则由正弦定理可得，则点O到平面AB1C的距离，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上13已知向量，若，则x解：由题意可得2x+30，解得x故答案为：14设一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的体积为3解：圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，圆锥的母线l，半径r，圆锥的高h3，故圆锥的体积V3
17、；故答案为：315已知4+3i是方程x2ax+b0（a，bR）的一个根，则a+b33解：设该方程的另一个根为zx+yi（x，yR），则，从而，解得，即，故a+b8+2533，故答案为：3316如图，已知两座山的高分别为MN30米，BC20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得MAN60，CAB45，BAN150，则MC10米解：如图，过点C作CDMN，垂足为D，则DMMNBC10米，CDBN由题意可得AN10米，AB20米，BAN150，则BN2300+400210，从而MC2CD2+DM21300+1001400，故MC10米故答案为：10四、解答题：本
18、题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知向量，的夹角为30，且|2，|（1）求|2|的值；（2）若（k）（2k），求k的值解：由已知得，（1）（2）由（k）（2k）得（k）（2k）0，所以，化简得3k211k+60，解得，或k318某高校将参加该校自主招生考试的学生的笔试成绩按得分分成5组，得到的频率分布表如表所示该校为了选拔出最优秀的学生，决定从第4组和第5组的学生中用分层抽样法抽取60名学生进行面试，根据面试成绩，得到如图所示的频率分布直方图组号分组频数频率第1组150，160）600.10第2组160，170）1500.25第3组170，180）2100.35第
19、4组180，190）1500.25第5组190，200）300.05合计6001.00（1）求第4组和第5组的学生进入面试的人数之差；（2）若该高校计划录取15人，求该高校的录取分数解：（1）由题意可知，抽取比例为，则从第4组应抽取的人数为，从第5组应抽取的人数为，故第4组和第5组的学生进人面试的人数之差为501040；（2）由题意可知，该高校的录取率为，因为（0.02+0.04）100.60.75，0.6+0.03100.90.75，则该高校的录取分数在80，90）内，设该高校的录取分数为x，则（x80）0.03+0.60.75，解得x85，故该高校的录取分数为85分19如图，在三棱柱ABC
20、A1B1C1中，ABB1ACC1ACB90，点O为A，B的中点，ACBC2，（1）证明：平面ACC1A1平面ABC；（2）求点B1到平面OA1C1的距离【解答】（1）证明：因为ABB1ACC190，所以ABBB1，ACCC1在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1/CC1，所以ABCC1，又因为ABACA，所以CC1平面ABC，又因为CC1平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面ABC（2）解：设点O到平面A1B1C1的距离为h，点B1到平面OA1C1的距离为d因为点O为A1B的中点，所以，因为ACBC2，所以，则因为，所以，故点B1到平面OA1C1的距离为20端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节
21、等，源于中国人对自然天象的崇拜，由上古时代祭龙演变而来端午节与春节、清明节、中秋节并称中国四大传统节日某社区为丰富居民业余生活，举办了关于端午节文化习俗的知识竞赛，比赛共分为两轮在第一轮比赛中，每位参赛选手均需参加两关比赛，若其在两关比赛中均达标，则进入第二轮比赛已知在第一轮比赛中，A，B第一关达标的概率分别是，；第二关达标的概率分别是，A，B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响（1）分别求出A，B进入第二轮比赛的概率；（2）若A，B两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率解：（1）设事件A1为“A在第一轮第一关比赛中达标”，事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”，事件B
22、1为“B在第一轮第一关比赛中达标”，事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”则A进入第二轮比赛的概率，B进入第二轮比赛的概率（2）由（1）可知A没有进入第二轮比赛的概率，B没有进入第二轮比赛的概率，则A，B两人都没有进入第二轮比赛的概率为故A，B两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率21在asinB+bcosA0，（a+b+c）（abc）bc，bsin2A+asinB0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_（1）求A；（2）若角A的角平分线AD1，且c3，求ABC面积的最小值解：选，（1），由正弦定理可得，0B，sinB0，si
23、nA+，tanA，0A，A选，（1）（a+b+c）（abc）bc，a2b22bcc2bc，即bcb2+c2a2，0A，A选，bsin2A+asinB0，由正弦定理，可得2sinBsinAcosA+sinAsinB0，2cosA+10，即cosA，0A，A（2）SABCSABD+SACD，AD1，b+cbc，即，设y，设tc1，t2，则yf（t），当t2时，f（t）单调递增，ABC面积的最小值22如图，在正四棱锥PABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且（1）证明：EF平面PAC（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA平面MEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：（1）证明：如图，连接BD，记ACBDO，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，PBPD，则O为AC的中点，且ACBD，因为PBPD，所以POBD，因为AC平面PAC，PO平面PAC，且ACPOO，所以BD平面PAC，因为，所以EF/BD，则EF平面PAC（2）设存在点M满足条件，连接ME，MF，记POEFN，连接MN，取PC的中点Q，连接OQ，因为O，Q分别是AC，PC的中点，所以OQ/PA，因为PA/平面MEF，所以OQ/平面MEF，因为平面POQ平面MEFMN，所以OQ/MN，则，由（1）可知EF/BD，所以，所以，因为Q为PC的中点，所以，所以，故存在满足条件的点M，此时