1、本章复习提升易混易错练易错点1求零点时忽视函数的定义域致错1.()函数f(x)=2x+1x在定义域内的零点个数为(易错)A.0B.1C.2D.32.()函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的零点个数为(易错)A.0B.1C.2D.3易错点2忽视零点存在定理的使用条件致误3.()对于函数f(x),若f(-1)f(3)0,则下列判断中正确的是()A.方程f(x)=0一定有根B.方程f(x)=0一定无根C.方程f(x)=0一定有两根D.方程f(x)=0可能无根4.()设f(x)在区间a,b上是连续的单调函数,且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在a,b内(易错)A.至少有一实根
2、B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一实根易错点3函数图象画不准确致错5.()已知函数f(x)=|2x-1|,x2,3x-1,x2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(易错)A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)6.()函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点在区间(k,k+1)(kZ)上,则k=.7.()函数f(x)=x2-2x的零点个数为.8.()已知函数f(x)=|log2x|,02,若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,求实数m的取值范围.易错点4求参数的取值范围时考虑不全面致错9.(2020河北邯郸高一期中,)已知关于x的方程
3、ax2+2x+1=0至少有一个负数根,则实数a的取值范围是(易错)A.(-,0)B.(-,1C.(0,1D.0,110.()已知函数f(x)=(log2x)2+4log2x+m,x18,4,m为常数.(1)设函数f(x)存在大于1的零点,求实数m的取值范围;(2)设函数f(x)有两个互异的零点,求实数m的取值范围,并求的值.易错点5求实际应用问题时忽视对函数定义域的限制而致错11.()某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元,每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元,市场对这种电器的年需求量为5百台.已知这种电器的销售收入R与销售量t的关系可用抛物线表示,如图.(注
4、:销售量的单位:百台,销售收入与纯收益的单位:万元,生产成本=固定成本+可变成本,精确到1台和0.01万元)(1)写出销售收入R与销售量t之间的函数关系式;(2)若销售收入减去生产成本为纯收益,写出纯收益与销售量的函数关系式,并求销售量是多少时,纯收益最大.易错思想方法练一、函数与方程思想在函数问题中的应用1.()如图所示,开始时桶1中有a升水,t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1=ae-nt,桶2中的水量就是y2=(a-ae-nt)升,桶1与桶2的大小和形状相同,假设过5分钟后桶1和桶2中的水量相等,则桶1中的水量为a8升时,需再经过分钟.2.()已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=
5、0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用3.()函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是()A.0B.1C.2D.34.()若定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时, f(x)=log12(x+1),x0,1),1-|x-3|,x1,+),则关于x的函数F(x)=f(x)-a(0a1)的所有零点之和为()A.2a-1B.2-a-1C.1-2-aD.1-2a三、转化与化归思想在函数零点中的应用5.()若x0是方程ax=logax(0a1)的解,则x0,1,a这三个数的大小关系是.(用“”连接)6.()已知函数f(x)=
6、x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.(用“”连接)四、分类讨论思想在函数问题中的应用7.(2020北京丰台高一上期中,)由历年市场行情知,从11月1日起的30天内,某商品每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P=t+20(0t25,tN*),45(25t30,tN*),日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是Q=-t+40(t30,tN*).(1)设该商品的日销售额为y元,请写出y与t的函数关系式(商品的日销售额=该商品每件的销售价格日销售量);(2)求该商品的日销售额的最大值,并指出哪一天的销售额最大
7、. 8.(2019湖南醴陵一中高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)若k=2,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求实数k的取值范围,并证明1x1+1x20时,f(x)0;当x0时,f(x)0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0有2个零点.易错警示忽视函数的定义域会导致求x2+2x-3=0时不能舍去x=1.3.D因为f(x)的图象不一定是连续不断的,所以方程f(x)=0可能无根.4.D由题意知函数f(x)的图象在a,b内与x轴只有一个交点,即方程f(x)=0在a,
8、b内只有一个实根.易错警示函数零点存在定理成立有两个条件:函数图象在闭区间上是一条连续不断的曲线;区间端点的函数值异号.5.D作出函数f(x)的图象,如图所示,因为方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,所以a的取值范围为0a1,故选D.易错警示利用图象解决函数零点问题时,画函数图象一定要准确.本题中易画错x0时的图象.6.答案-2或1解析易知x0.函数f(x)=xlg(x+2)-1的零点即为方程lg(x+2)=1x的根.在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)和y=1x的图象,如图所示,由图可知,原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k的值为-2或1
9、.7.答案3解析求函数f(x)=x2-2x的零点个数,即求y=x2和y=2x图象的交点个数.画出两个函数的图象,如图所示,由图可知,两个函数的图象有3个交点,所以函数f(x)=x2-2x的零点个数是3.8.解析画出函数y=f(x)与y=m的图象.函数y=f(x)与y=m的图象的交点个数就是函数g(x)=f(x)-m的零点个数.因为函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,所以函数y=f(x)与y=m的图象有四个交点.由图可知,实数m的取值范围是(0,1).9.B当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-12,满足题意.当a0,1a0时,-2a0,所以方程有两个负数根,又方程有根需满足=4-
10、4a0,所以00,g(-3)0,g(2)0,解得3m0,f(1)0或k0,即k0,2k-2-3k-20或k0,解得k0或k-4.故实数k的取值范围是k0.3.B令f(x)=0,即2x+x3-2=0,则2x-2=-x3.在同一平面直角坐标系中作出y=2x-2和y=-x3的图象,如图所示.将求函数在(0,1)内的零点个数转化为求两函数图象的交点个数,数形结合求解即可.由图可知,两个函数图象在区间(0,1)内只有一个交点,函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内只有一个零点.故选B.4.D作出函数f(x)在R上的图象和y=a(0a1)的图象,根据图象的交点确定函数F(x)的零点,再根据图象的对
11、称性确定所有零点之和.作出函数f(x)在R上的图象和y=a(0a1)的图象,如图,由图可知,函数F(x)=f(x)-a(0a1)有5个零点,其中最左边两个零点之和为-6,最右边两个零点之和为6,中间一个零点x是方程log2(1-x)=a的根,解得x=1-2a,故所有零点之和为-6+1-2a+6=1-2a.思想方法本章中,求函数的零点、判断函数零点的个数、与零点有关的参数等问题中都会用到数形结合思想,画出函数图象,图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点,两图象交点的个数就是函数零点的个数.5.答案ax01解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax和y=logax(0a1)的图象,由图可知x01,l
12、ogax0a,则ax01.将方程的解转化为两函数图象的交点问题进而求解.6.答案x1x2x3解析令x+2x=0,得2x=-x.令x+ln x=0,得ln x=-x.在同一平面直角坐标系中作出y=2x,y=ln x,y=-x的图象,如图所示,由图可知x10x21.综上,x1x2x3.思想方法在本章中转化与化归思想主要用于解决函数零点和图象交点问题,主要有以下几种情况:(1)将方程的解或不等式的解集转化为函数零点问题;(2)将函数零点问题转化为图象交点问题.7.解析(1)由题意知y=PQ=(t+20)(40-t)(0t25,tN*),45(40-t)(25t30,tN*),即y=-t2+20t+8
13、00(0t25,tN*),1 800-45t(25t30,tN*).(2)针对不同的定义域分析函数的最大值.当0t675,所以日销售额的最大值为900元,且11月10日销售额最大.8.解析(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.去绝对值,对x2与1的关系分类讨论.当x1或x-1时,f(x)=x2-1+x2+2x=2x2+2x-1,令f(x)=0,解得x=-1-32或x=-1+32(舍去).当-1x1时,f(x)=2x+1,令f(x)=0,解得x=-12.综上, f(x)的零点为-1-32,-12.(2)当0x2时,f(x)=kx+1,0x1,2x2+kx-1,1x2.若f(x)的
14、两个零点x1,x2都在(1,2)内,则x1x2=-12,与x1,x2(1,2)矛盾.所以两个零点分别在(0,1和(1,2)内.设x1(0,1,x2(1,2).由x1(0,1得f(x1)=kx1+1=0,所以k=-1x1-1.由x2(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得f(1)f(2)0,即(k+1)(2k+7)0,解得-72k-1.综上所述,-72k-1.易知x1=-1k,x2=-k+k2+84.设g(k)=1x1+1x2=-k+4-k+k2+8=k2+8-k2,易知g(k)在-72,-1上单调递减,所以g(k)=1x1+1x2g-72=-722+8+722=92+722=4,即1x1+1x24.思想方法在本章中分类讨论思想主要用于解决函数零点及分段函数问题,主要体现在以下几个方面:(1)根据零点不同区间分情况讨论,求出零点;(2)根据函数在不同区间的取值讨论函数的解析式及对应性质.