1、2016-2017学年江苏省南通市平潮高级中学高二（上）暑假自主检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸的相应位置上）1已知集合U=1，3，5，7，9，A=3，7，9，B=1，9，则A（UB）=2已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=4函数的定义域是 5长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为cm36已知O为坐标原点， =（0，5），且，则点C的坐标为7若将函数y=sin2x的图象向左平移，个单位后所得图象关于y轴对称，则=8设直
2、线l经过点（1，1），则当点（2，1）与直线l的距离最大时，直线l的方程为9已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，则实数k的值是10已知直线xcosy+2=0，（R）的倾斜角为，则的取值范围为11设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是12已知为锐角，满足，则sin2=13设向量、是夹角为60的两个单位向量，向量=x+y，（x、y为实数）若PMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则xy的值为14在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0
3、，则实数a的值为二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知集合A=x|x1|2，B=x|x22mx+m210（1）当m=3时，求AB； （2）若AB=A，求实数m的取值范围16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F17ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2ac）cosB=bcosC，（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为为且b=，求a+c的值18已知二
4、次函数f（x）=ax2+bx+1满足f（1）=0，且xR时，f（x）的值域为0，+）（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）2kx，kR若g（x）在x2，2时是单调函数，求实数k的取值范围；若g（x）在x2，2上的最小值g（x）min=15，求k值19如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且（1）若，求AE的长；（2）设ACE=，求该空地种植果树的最大面积20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，
5、4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围2016-2017学年江苏省南通市平潮高级中学高二（上）暑假自主检测数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸的相应位置上）1已知集合U=1，3，5，7，9，A=3，7，9，B=1，9，则A（UB）=3，7【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据交集与补集的定义，计算即可【解答】解：集合U=1，3，
6、5，7，9，A=3，7，9，B=1，9，UB=3，5，7；A（UB）=3，7故答案为：3，72已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），得 =2a，a=y=f（x）=f（9）=3故答案为：33设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=4或2【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：函数f（x）=，f（a）=4，当x0时，a=4，解得a=4；当x0时，a2=4，解得
7、a=2或a=2（舍）a=4或a=2故答案为：4，24函数的定义域是 （0，2【考点】函数的定义域及其求法【分析】要是解析式有意义，只要1log2x0，log2x1，结合对数函数的图象或单调性求解即可【解答】解：1log2x0，log2x1=log22，故0x2故答案为：（0，25长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为6cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】如图所示，连接AC，BD，相交于点O由AB=AD=3cm，可得矩形ABCD是正方形，AOBD，平面BB1D1D平面ABCD，可得AO平面BB1D1D利用四棱锥ABB1D1D的
8、体积V=即可得出【解答】解：如图所示，连接AC，BD，相交于点OAB=AD=3cm，矩形ABCD是正方形，AC=BD=3AOBD，又平面BB1D1D平面ABCD，AO平面BB1D1DAO是四棱锥ABB1D1D的高四棱锥ABB1D1D的体积V=6故答案为：66已知O为坐标原点， =（0，5），且，则点C的坐标为（12，4）【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】本题考查的知识点是平面向量的平行与垂直的性质，我们设C点坐标为（x，y），则我们可以表示出向量、的坐标，由，我们结合“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”，可以构造关于x，y的
9、方程，解方程即可求出点C的坐标【解答】解：设C点坐标为（x，y）则， =（0，5），=（x+3，y1）=（x，y5）=（3，4）又，解得：即C点坐标为（12，4）故答案为：（12，4）7若将函数y=sin2x的图象向左平移，个单位后所得图象关于y轴对称，则=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，以及正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得的值【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移，个单位后所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+2），再根据所得函数的图象关于y轴对称，则2=k+，即=+，kZ，故的最小值为，故答
10、案为：8设直线l经过点（1，1），则当点（2，1）与直线l的距离最大时，直线l的方程为3x2y+5=0【考点】点到直线的距离公式【分析】先A（1，1），B（2，1）且当ABl时点B与l距离最大，进而可求出直线l的斜率，再根据点斜式方程得到答案【解答】解：设A（1，1），B（2，1），当ABl时，点B与l距离最大，直线l的斜率k=，此时l的方程为：y1=（x+1），即为：3x2y+5=0；故答案为3x2y+5=09已知奇函数f（x）是R上的单调函数，若函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，则实数k的值是【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点f（x2）
11、+f（kx）=0只有一解f（x2）=f（xk）只有一解x2=xk有唯一解=14k=0，问题得解【解答】解：函数y=f（x2）+f（kx）只有一个零点，只有一个x的值，使f（x2）+f（kx）=0，函数f（x）是奇函数，只有一个x的值，使f（x2）=f（xk），又函数f（x）是R上的单调函数，只有一个x的值，使x2=xk，即方程x2x+k=0有且只有一个解，=14k=0，解得：k=故答案为：10已知直线xcosy+2=0，（R）的倾斜角为，则的取值范围为【考点】直线的倾斜角【分析】根据直线的倾斜角的正切值等于直线的斜率，得到tan等于cos，根据cos的值域结合正切函数的图象可得倾斜角的取值范围
12、【解答】解：直线xcosy+m=0可化为y=cosx+m，得到直线的斜率k=tan=cos又因为cos1，1，根据正切函数图象可得的范围为故答案为11设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是（，12，+）【考点】函数的值域【分析】f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=，当x2时，f（x）=2x+a，在（2，+）上为增函数，f（x）（4+a，+）；当x2时，f（x）=x+a2，在（，2上为增函数，f（x）（，2+a2；若f（x）的值域为R，则（，2+a2（4+a，+）=R，
13、则2+a24+a，即a2a20解得a1，或a2，则实数a的取值范围是（，12，+）故答案为：（，12，+）12已知为锐角，满足，则sin2=【考点】三角函数的化简求值【分析】根据二倍角公式以及和差角公式对已知条件两边整理得cossin=，再两边平方即可得到结论【解答】解：=cos2sin2=（cossin）（cos+sin），cos（）=（cos+sin），锐角满足cos2=cos（），由得，cossin=两边平方整理得：1sin2=，则sin2=故答案为：13设向量、是夹角为60的两个单位向量，向量=x+y，（x、y为实数）若PMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则xy的值为1【考点】平面向
14、量数量积的运算【分析】先根据条件可求出，而由MPMN即可得到，而可求得，代入并进行数量积的运算即可得到，从而便可求出xy的值【解答】解：根据条件：，且MPMN；=0；xy=1故答案为：114在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，a）作圆x2+y22ax+2y1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或2【考点】圆的切线方程【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，1），根据对称性，MNPR，=，kMN=
15、， +=0kMNkTQ=1，MNTQ，P，Q，R，T共线，kPT=kRT，即，a2a6=0，a=3或2故答案为：3或2二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知集合A=x|x1|2，B=x|x22mx+m210（1）当m=3时，求AB； （2）若AB=A，求实数m的取值范围【考点】交集及其运算【分析】（1）化简集合A，求出m=3时B，再根据定义写出AB；（2）化简集合B，由AB=A得BA，由此列出不等式组求出m的取值范围【解答】解：集合A=x|x1|2=x|2x12=x|1x3，（1）当m=3时，B=x|x26x+80
16、=x|2x4，AB=x|2x3；（2）B=x|x22mx+m210=x|m1xm+1，由AB=A得BA，所以，即，所以m的取值范围是0m216如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）推导出DEAC，从而DEA1C1，由此能证明DE平面A1C1F（2）推导出AA1A1C1，从而A1C1平面AA1B1B，进而DE平面AA1B1B，再由DEA1F，得A1F平面B1DE，由此能证明平面B1DE
17、平面A1C1F【解答】（本小题满分14分）证明：（1）D，E为中点，DE为ABC的中位线，DEAC，又ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1，DEA1C1，又A1C1平面A1C1F，且DEA1C1F，DE平面A1C1F（2）ABCA1B1C1为直棱柱，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1C1A1B1且AA1A1B1=A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，A1C1平面AA1B1B，又A1C1ACDE，DE平面AA1B1B，又A1F平面AA1B1B，DEA1F又A1FB1D，DEB1D=D，且DE，B1D平面B1DE，A1F平面B1DE，又A1FA1C1F，平面B1DE平面A1C1F1
18、7ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足（2ac）cosB=bcosC，（1）求角B的大小；（2）若ABC的面积为为且b=，求a+c的值【考点】正弦定理的应用；余弦定理【分析】（1）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2ac）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B（2）结合三角形的面积公式S=acsinB，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理b2=a2+c22accosB可求a+c【解答】解：（1）又A+B+C=，即C+B=A，sin（C+B）=sin（A）=sinA，将（2ac）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinAs
19、inC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在ABC中，0A，sinA0，cosB=，又0B，则B=（2）ABC的面积为，sinB=sin=，S=acsinB=ac=，ac=3，又b=，cosB=cos=，由余弦定理b2=a2+c22accosB得：a2+c2ac=（a+c）23ac=（a+c）29=3，（a+c）2=12，则a+c=218已知二次函数f（x）=ax2+bx+1满足f（1）=0，且xR时，f（x）的值域为0，+）（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）2kx，kR若g（x）在x2，2时是
20、单调函数，求实数k的取值范围；若g（x）在x2，2上的最小值g（x）min=15，求k值【考点】二次函数的性质【分析】（1）由题意可得f（1）=0，判别式为0，解方程可得a=1，b=2，进而得到函数的解析式；（2）根据二次函数的性质即可求出k的范围需要分类讨论，根据二次函数的性质即可求出k的值【解答】解：（1）由题意得：，得，所以f（x）=x2+2x+1，（2）g（x）=x22（k1）x+1；所以k12或k12，即k1或k3；当k12即k1时，g（x）min=g（2）=4k+1=15，得k=4；当k12即k3时，g（x）min=g（2）=94k=15，得k=6；当2k12即1k3时，得k=3（
21、舍）或k=5（舍）综上k=4或k=619如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且（1）若，求AE的长；（2）设ACE=，求该空地种植果树的最大面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设ACE=，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求SCEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积【解答】（本小题满分16分）解：（1）由已知得ABC为直角三角形，因为AB=8，所以，AC=4，在ACE中，由余弦定理：CE2=AC2
22、+AE22ACAEcosA，且，所以13=16+AE24AE，解得AE=1或AE=3，（2）因为，所以ACE=，所以，在ACF中由正弦定理得：，所以，在ACE中，由正弦定理得：，所以，由于：，因为，所以，所以，所以当时，SECF取最大值为20如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y212x14y+60=0及其上一点A（2，4）（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围【考点】圆的
23、一般方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，从而得到|7n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，由此能求出直线l的方程（3）=，即|=，又|10，得t22，2+2，对于任意t22，2+2，欲使，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，由此能求出实数t的取值范围【解答】解：（1）N在直线x=6上，设N（6，n），圆N与x轴相切，圆N为：（x6）2+（yn）2=n2，n0，又圆N与圆M外切，圆M：x2+y212x14y+60=0，即圆M：（x6）2+（x7）2=25，|7n|=|n|+5，解得n=1，圆N的标准方程为（x6）2+（y1）2=1（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d=，则|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=15，直线l的方程为：y=2x+5或y=2x15（3）=，即，即|=|，|=，又|10，即10，解得t22，2+2，对于任意t22，2+2，欲使，此时，|10，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于P、Q两点，此时|=|，即，因此实数t的取值范围为t22，2+2，2017年2月7日
