1、数学试题 参考答案 第 页 共页届高三第一次学业质量评价(T联考)数学试题参考答案及多维细目表题号 答案 C B A C B D C D ABD AC ABDACD【答案】C【解析】由zizi i 可得(i)z,z ii,故选 C【答案】B【解析】Mx|x,Nx|x,故 MN x x,故选 B【答案】A【解析】若an,则 SnSn,Sn 是递增数列,“an”是“Sn是递增数列”的充分条件;若 Sn是递 增 数 列,则 SnSn,an(n),但 是 a 的 符 号 不 确 定,“an”不 是“Sn是递增数列”的必要条件,故选 A【答案】C【解析】选项 A:有可能出现点数,例如,;选项 B:有可能
2、出现点数,例如,;选项 C:不 可 能 出 现 点 数,(),如果出现点数,则方差大于或等于,不可能是;选项 D:有可能出现点数,例如,故选C【答案】B【解析】sin()cos sincossin(),sin()sin()cos()sin(),故选 B【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为r,下底面半径R,母线长为l,球的半径为R,球与圆台的两个底面和侧面均相切,lrR,R,圆 台 的 侧 面 积 与 球 的 表 面 积 之 比 为S侧S表(rR)lR(),故选 D【答案】C【解析】g(x)为 偶 函 数,g(x)g(x),即f x()xf x()x,两边同时对x 求导得f x()f x(),
3、即f(x)f(x),令x,则f(),f(x)为奇函数,f(x)f(x),又f(x)f(x),即f(x)f(x),联立f(x)f(x)得f(x)f(x),即f(x)f(x),f()f()f(),故选 C【答案】D【解析】依 题 意,设 P(x,y),Q(x,y),B(x,y),A(x,),直线PQ、QB QA()、BP 的斜率分别为k,k,k,则k y()x x()yxk,kk,kk,xa yb,xa yb,两 式 相 减 得xxayyb,(yy)(xx)(yy)(xx)ba,即kk ba,ba,ba,ecaba,椭圆的离心率e ,故选 D【答案】ABD【解 析】连 接 AC,AD,则NP是AC
4、D 的 中 位 线,NPDC,故 选 项A 正确;连 接 BD,BA,则MNAD,MN平面 ACD,即 MN平面 ACP,故选项 B正确;连接 BD,BA,AD,则 平 面 MNP 即 为 平 面BAD,显然 DC 不垂直平面BAD,故选项 C错误;PMBD,DBC即为 PM 与BC所 成 的角,DBC,故选项 D 正确故选 ABD【答案】AC【解析】方法一:将f(x)sin(x)的图像向数学试题 参考答案 第 页 共页左 平 移个 单 位 得 到g(x)sin(x)sin(x )的图像,g(x)的 图 像 与 f(x)的 图 像 关 于y 轴 对 称,g()f(),即cossin,经检验,满
5、足题意,故选项A 正确,选项 B不正确;设f(x)的周期为 T,g(x)的图像是f(x)的图像向 左 平 移T 个 得 到,g(x)的 对 称 轴 过f(x)的对称中心,故选项 C正确;当 m,时,f(m)的 值 域 为 ,当n,时,g(n)的值域为,故选项 D 不正确故选 AC 方法二:由题意可得g(x)sin(x)sin(x),g(x)的 图 像 与 f(x)的 图 像 关 于 y 轴 对称,g(x)f(x),即sin(x)sin(x),xxk,kZ,解得k,kZ,故选项 A 正确,选项 B不正确;f(x)sin(x),令xk,kZ,得f(x)的对称中心为(k,),kZ,g(x)sin(x
6、),令xk,kZ,得g(x)的对称轴为xk ,kZ,g(x)的对称轴过f(x)的对称中心,故选项 C 正确;选项 D 的判断同上【答案】ABD【解 析】由 nSn n()Sn n()n n()n,nN()得 SnnSnnnn,nN(),SS,S S,SnnSnn n,累加得 SnnS n n(),解 得 Sn n n n,nN(),当n时,S满足上式,Snnn,当n时,anSnSnnn,a,故选项 A 正确;当n时,annn单调递增,又aS,aSS,an单调递增,且aaaaaa,当n时,Sn单调递减,当n时,Sn单调递增,且SS,当n时,Sn取得最小值,故选项 B正确;又 S ,S,当Sn时,
7、n 的最小值为,故选项 C错误;当n,时,Snan;当n,时,Snan;当n时,Snan,当n,时,考虑Snan的最小值,又当n,时,an恒为正且单调递减,Sn 恒为负且单调递增,Snan单调递增,当n时,Snan取得最小值,故选项 D 正确,故选 ABD【答案】ACD【解析】由题意得 f(x)exxsinxex,设F(x)f(x)ex,则F(x)xsinxex,易得当x时,F(x),当x时,F(x),函数 F(x)在(,)上 单 调 递 减,在(,)上单调递增,F()F(),即f()ef()e,f()e,选项 A 正确;f()f()sin e,f()f(),选项 B错误;设h(x)f(x)f
8、(x)xsinxex,则h(x)(xsinxex)cosxxsinxex,数学试题 参考答案 第 页 共页设r(x)cosxxsinx,则当x时,r(x)(x)(sinxcosx)();当x时,sinxx,且cosx,r(x);当x时,r(x)sinxcosx sin(x),当x(,)时,r(x),r(x)单调递增,当x(,)时,r(x),r(x)单调递减,又r(),r(),x(,),使得r(x),即当x(,x)时,r(x),当x(x,)时,r(x);综上:当x(,x)时,r(x),即h(x),h(x)单调递增;当x(x,)时,r(x),即h(x),h(x)单调递减,h(),当x时,h(x)h
9、(),当x时,易证xsinx,h(x),且当x时,h(x),又x (,),h()eee,方程h(x)e有两个解,即方程f(x)f(x)e有两个解,选项 C正确;由F(x)f(x)ex可得f(x)exF(x),f(x)ex F(x)F(x),令u(x)F(x)F(x),则u(x)F(x)F(x)xsinxex xsinxexxsinxexcosx(xsinx)exr(x)ex,由以上分析可知,当x(,)时,r(x),即u(x),u(x)单 调 递 增,u(x)u()F()F(),f(x),f(x)在 区 间(,)上 单 调 递 增,选 项 D 正确故选 ACD【答案】【解析】(x)(x)(x)x
10、(x),展开式中x 的系数为 CC【答案】【解析】方法一:作向量OAa,ABb,则OBab,由题意OAOB,且 AB OB,OAB,a,b的夹角为方 法 二:由 b ab 平 方 得 b aab b(),(ab)a,ab a,代 入 b aab b()得 b a,cosa,baba b ,a,b的夹角为【答案】ln,ln)【解析】令f(x)lnxx,则f(x)lnxx,当x(,e)时,f(x),f(x)单调递增;当x(e,)时,f(x),f(x)单 调递减,且当x(,)时,f(x),当x(,)时,f(x),方法一:原不等式等价于x,lnxx a,或x,lnxx a,有且只有一个整数解,f()a
11、f(),即实数a的取值范围为ln,ln)方法二:原不等式等价于(lnxx)alnxx,若a,则lnxx a或lnxx,lnxx 显然没有整数解,要满足lnxx a有且只有一个整数解,又f()ln ln f()f(),则f()af(),可得ln aln;若a,则lnxx 或lnxx a,lnxx 有无数多个整数解,lnxx a没有整数解;若a,不等式显然有无穷多个整数解,综上,实数a的取值范围为ln,ln)【答案】;xy【解析】方法一:设POF,则有tanba,又数学试题 参考答案 第 页 共页FP 垂直于渐近线ybax,|OP|a,|PF|b,sinbc,cosac,在 OFP 中,由 正 弦
12、 定 理:asin()csin,abc ac c,a ba,ab,a b,eca aba,方法 二:依 题 意 可 得 P(ac,abc),Fc,(),F c,(),PF (acc)(abc)ac,又 PO a,OF c,在OPF 中,OF PF POPO PF cosFPOac,即cacaa ac ,化简得ca,eca ,xayb如图,过 P 点 的 切 线 PQ 与 双 曲 线 切 于 点M(x,y),设P(x,y),Q(x,y),又 P,Q 均 在 双 曲 线 的 渐 近 线 上,故 设 P(x,bax),Q(x,bax),又tan ba,sin tantanba(ba)abab,SPO
13、Q OPOQ sin x(bax)x(bax)ababba xx,过 M 点的切线PQ:xxa yyb,即ybxxya by,代入bxay,化简得(aybx)xabxxab,又bxayab,abxabxxab,即xxxa,xxa,SPOQba xx ab bb,b,b,a,故双曲线的方程为xy【解 析】()由 题 意 得 lna lna lna,aaa,又 Sna是等比数列,Sa()(Sa)Sa(),a,aa,a()aa(),aa,又an,故a,又 lnan是等差数列,故 an 为等比数列,首项a,公比qaa,an的通项公式为ann分()ann,bnloganloganlognlognnnn,
14、令Cn()nbn,则CnCnbnbn(bnbn)(bnbn)(bnbn)(nN),记 Cn的前n项和为Tn,T(CC)(CC)(bbb)(),数列()nbn的前项和为分【解析】()由 ABC,ACB,cosBcos(AC),cos(AC)cos(AC),sinAsinC,又a,b,c成等比数列,故bac,sinBsinAsinC,sinB ,方法一:cosB,又cosBacbac数学试题 参考答案 第 页 共页acacacacacac,当且仅当ac时,等号成立,cosB,ac,又B,ABC分方法二:若B,则cosB,代入cos(AC)cosB,则cos(AC),A,C,AC若B,则cosB,代
15、入cos(AC)cosB,则cos(AC)(舍),综上ABC分()b,|AB|,SABD|AB|BD|sin,即|BD|,|BD|,|CD|,由余弦定理:在ACD 中,|AD|AC|CD|AC|CD|cos DCA(),又 由 正 弦 定 理:|AD|sin|CD|sin CAD,sin CAD,sin CAD 分【解析】记Ai(i,)表示“第i局甲获胜”,()设 A 表示“比赛一共进行了四局并且甲班最终获胜”,则事件 A 包括三种情况:AAAA,AAAA,AA AA,这 三 种 情 况 互 斥,且A,A,A,A 相互独立,P(A)P(AAAAA AAAAAAA)P(AAAA)P(A AAA)
16、P(AAAA)分()由题意,X 的所有可能取值有,P(X)P(A A A),P(X)P(AA A AAA A AAAAA),P(X)P(AAA A AAAAA AAA AAAAAAA AAAAAAA AAAA);P(X)P(X)P(X)P(X);分X 的分布列为:XPE(X)分【解 析】()菱 形ABCD 中,ABC,故 A,ABAD,ABD 是 等 边 三角形,又EFDB,EF BD,PEF 也是等边三角形,平面PEF平面 BCDEF,取 EF 的中点O,则POEF,且 PO 平面 BCDEF,连接 DO,由BFPD,而POBF,DOPO,BF平面POD,BFOD,延长 DO 交AB 于点N
17、,则 DNAB,又AOBD,O 为ABD 的重心,又O 点在EF 上,EFBD,EF DB,即分()方 法 一:由()连 接 CO,设 ABD 边 长 为a,则|PO|a,|CO|()a,PO平面BCDEF,直线 PC 与 平 面BCDEF 所 成 角 为 PCO,tanPCO|PO|CO|,解得,EF 是ABD 的中位线,数学试题 参考答案 第 页 共页在棱锥 PBCDEF 中,设 OC 与BD 相交 于 M点,连接PM,又设平面 PEF平面 PBD 于直线l,则l过点P,EFBD,EF平面PBD,EF平面PBD,又平面PEF平面PBD 于直线l,EFl,同理lBD,由上可知POEF,COE
18、F,EF平面POM,l平面POM,OPM 就是平面PEF 和平面PBD 所成二面角的平面角,又 POOM,且 POOM,OPM,即平面PEF 与平面PBD 的夹角为分方法二:以 O 为坐标 原 点,以 OF,OC,OP 为x 轴,y轴,z 轴 建 立 空 间直角 坐 标 系(如 图所 示),设 菱 形ABCD 边 长 为,则P(,),E(,),F(,),B(,),D(,),C(,),PO 平 面 BDEF,PCO 即 为PC 与平面BCDEF 所成的角,tanPCO POOC ,解得,OC平面PEF,OC(,)即为平面PEC 的法向量设平面PBD 的法向量为n x,y,z(),则 nBD,nP
19、B,即x,x y z,取n,(),则 cosOC,nOCnOC n ,OC,n,平面PEF 与平面PBD 的夹角为分【解析】()由题意,AB 斜率不为零,设 AB:xyp代入ypx(p),ypyp,设 Ax,y(),Bx,y(),则 y y p,yyp,SHAB p|yy|p(yy)yyppp p,当时,SHAB 取最小值p,p,p,抛物线C 的方程为:yx分()假 设 存 在 E x,y(),设 Mx,y(),N x,y(),由题意,MN 斜率不为零,设 MN 的方程为xt(y)代入yx,可得ytyt,yyt,yyt,yyxxyyxx,(yy)(yy),y(yy)yyy,ytyt,即t(y)
20、y,y,y,解得 y ,故存在定点E(,)满 足 题意分【解析】()f(x)ex,当 x 时,ex,f(x),f(x)在(,)单调递增,ae,f()eaeee(e),f()eaeee,f(x)存在唯一的零点x,且x分 当 xx 时,g(x)xaxaex,g(x)xaexexxaex,x,a,ex,xa,g(x),g(x)在(,x)单调递增,x,g(x)g()aae eee,又g()aae ea(e)e (e)(e)eeee,g(x)在,x 有唯一的零点,(注:取g()数学试题 参考答案 第 页 共页也可以);当xx 时,g(x)lnxxalnxxaln ln,g(x)在(x,)单调递减,g()
21、lnaln(e)lne,g(e)(e)a(e)(e)(e)e,g(x)在(x,)有唯一的零点,综上,函数g(x)有两个零点分()由()可知g(x)g(x),其中xxx,由g(x)得xaxaex,即xa(ex)xex,由g(x)得lnxa(x)xlnx,设h(x)lnxa(x)xlnx,则 h(x)h(ex),xxx,exe,xxe,而xe时,h(x)x alnxeaee,h(x)在(e,)单调递减,xex,要证exxexx exx,即 证exexxx exx,即证exexexxxx,即证exxexxxx,设xxt,则即证etett,设h(t)etett,t,则h(t)etet,当t时,h(t)单调递增,h(t)h(),即证分
