1、A基础达标1.若椭圆1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为 ()A.6B.7C.8 D.9解析：选B.根据椭圆的定义知,|PF1|PF2|2a2510,因为|PF1|3,所以|PF2|7.2.若椭圆1的焦距为2,则m的值为()A.5 B.3C.5或3 D.8解析：选C.由题意得c1,a2b2c2.当m4时,m415；当m3 B.a3或a3或6aa60得所以所以a3或6ab0),且可知左焦点为F(2,0).从而有解得又a2b2c2,所以b212,故椭圆C的标准方程为1.法二：依题意,可设椭圆C的方程为1(ab0),则解得b212或b23(舍去),从而a216.所以椭圆C的标
2、准方程为1.答案：18.椭圆的两焦点为F1(4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若PF1F2的面积最大为12,则椭圆的标准方程为_.解析：如图,当P在y轴上时PF1F2的面积最大,所以8b12,所以b3.又因为c4,所以a2b2c225.所以椭圆的标准方程为1.答案：19.求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0),F2(4,0),并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0,2),(0,2),经过点(4,3).解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上,且c4,2a10,所以a5,b3,所以椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设
3、它的标准方程为1(ab0).法一：由椭圆的定义知2a12,解得a6.又c2,所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二：因为所求椭圆过点(4,3),所以1.又c2a2b24,可解得a236,b232,所以椭圆的标准方程为1.10.已知B,C是两个定点,|BC|8,且ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解：以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy,如图所示.由|BC|8,可知点B(4,0),C(4,0).由|AB|AC|BC|18,|BC|8,得|AB|AC|10.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10,
4、c4,但点A不在x轴上.由a5,c4,得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0).B能力提升11.已知P为椭圆1上的一点,M,N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点,则|PM|PN|的最小值为()A.5 B.7C.13 D.15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|PF2|10,从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.12.(2019汕头高二检测)设F1,F2为椭圆y21的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为()A. B.C. D.解析：选C.因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2x轴,|P
5、F2|,|PF1|2a|PF2|6,所以.13.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P在第二象限,F2F1P120,求PF1F2的面积.解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),焦距为2c,则由已知得c1,|F1F2|2,所以4|PF1|PF2|2a,所以a2,所以b2a2c2413,所以椭圆的标准方程为1.(2)在PF1F2中,|PF2|2a|PF1|4|PF1|.由余弦定理,得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120,即(4|PF1|)2|PF1|2
6、42|PF1|,所以|PF1|,所以SPF1F2|F1F2|PF1|sin 1202.14.(选做题)设F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,1).(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|PF2|的最大值；(2)若C为椭圆上异于B的一点,且1 1,求的值；(3)设P是该椭圆上的一个动点,求PBF1的周长的最大值.解：(1)因为椭圆的方程为y21,所以a2,b1,c,即|F1F2|2,又因为|PF1|PF2|2a4,所以|PF1|PF2|4,当且仅当|PF1|PF2|2时取“”,所以|PF1|PF2|的最大值为4.(2)设C(x0,y0),B(0,1),F1(,0),由1 1,得x0,y0.又y1,所以有2670,解得7或1,C异于B点,故1舍去,所以7.(3)因为|PF1|PB|4|PF2|PB|4|BF2|,所以PBF1的周长4|BF2|BF1|8,所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1的周长最大,最大值为8.