1、-1-本章整合BENZHANG ZHENGHE-2-本章整合 知识网络 专题探究 不等式-3-本章整合 知识网络 专题探究 不等式 基本不等式 重要不等式:一般地,对于任意实数,都有2+2 2,当且仅当=时,等号成立基本不等式 内容:如果,都是非负数,那么+2 ,当且仅当=时,等号成立证明 几何解释代数证明应用 比较大小证明简单不等式求最值“一正、二定、三相等”解决实际问题简单线性规划 二元一次不等式(组)与平面区域 二元一次不等式表示的平面区域:直线定界、特殊点定域、阴影表示二元一次不等式组表示的平面区域:各不等式表示平面区域的公共部分简单线性规划问题 相关概念:约束条件、线性约束条件、目标
2、函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解简单线性规划问题的解法图解法(步骤:作图平移求值)简单线性规划问题的实际应用-4-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题一 基本不等式的应用 利用基本不等式及其变形,可以比较两个实数(或式)的大小,求函数的值域或最值,还可以证明不等式.用基本不等式求最值时,一般用a+b(a0,b0)解“定积求和,和最小”问题,用求“定和求积,积最大”问题.一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.特别是在“利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法”“构造定值条件的方法”,以及“对等号能否成立的验证”中尤其注意.2 ab
3、+2 2-5-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 1】下列不等式一定成立的是()A.lg 2+14 lg x(x0)B.sin x+1sin2(xk,kZ)C.x2+12x(xR)D.12+11(xR)解析:当 x0 时,x2+142 2 14=x,所以lg 2+14 lg x(x0),当且仅当x=12时,等号成立,故A选项不正确;当 xk,kZ 时,sin x 的正负不定,故 B 选项不正确;由基本不等式可知,x2+12 2=2|x|,当且仅当 x=1 时,等号成立,故 C 选项正确;当 x=0 时,有12+1=1,故 D 选项不正确.答案:C-6-本章整合 专题探究
4、 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 2】已知 log2a+log2b1,则 3a+9b 的最小值为 .解析:由 log2a+log2b1 得 ab2,则3a+9b2 3+22 32 218(当且仅当 a=2b 时,等号成立).答案:18【例题 3】已知 a,b,c 都是正数,且 a+2b+c=1,则1+1+1的最小值是 .解析:1+1+1=(a+2b+c)1+1+1=4+2+2+4+2 2+2 +2 2 =6+4 2,当且仅当 a=2b=c 时,等号成立.答案:6+4 2-7-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 4】设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,
5、则 2x+y 的最大值是 .解析:4x2+y2+xy=1,(2x+y)2=3xy+1=322xy+132 2+2 2+1,(2x+y)285,(2x+y)max=2 105.答案:2 105-8-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题二 不等式恒成立问题的解法 不等式恒成立求参数的取值范围问题是一类重要的题型,它涉及不等式、函数等诸多知识,其解法主要有以下几种:1.分离参数法 将欲求范围的参数分离到不等式的一边,然后求另一边式子的最值.(1)若f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)max;(3)若f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)min
6、;(4)若f(a)g(x)恒成立,则f(a)g(x)max.-9-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三【例题 5】若 x0,y0,且不等式 +-a +0 恒成立,求 a 的取值范围.解:由不等式可得 a+,而 +2=+2+,由于 x+y2,所以+2+2,即+的最大值为 2,故 a 的取值范围是 a 2.-10-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 2.更换主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元,一般把知道取值范围的变量看作主元.【例题6】设f(x)=mx2-mx-6+m,若对于m-2,2,f(x)0恒成立,求实数x的取值范围.解:依题意,设g(m)=(x2-x
7、+1)m-6,则g(m)是关于m的一次函数,且一次项系数x2-x+1=g(m)在-2,2上递增.欲使f(x)0恒成立,需g(m)max=g(2)=2(x2-x+1)-60,-11-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 3.判别式法 对于一元二次不等式当xR时恒成立的问题,可通过判别式进行求解.【例题7】对于xR,不等式x2-2x+3-m0恒成立,求实数m的取值范围.解:不妨设f(x)=x2-2x+3-m,其函数图像是开口向上的抛物线,为了使f(x)0(xR),只需对应方程的0,即(-2)2-4(3-m)0,解得m2.故m(-,2.-12-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专
8、题二 专题三 4.数形结合法 通过函数的图像、方程的曲线以及曲线的上、下位置关系,求解不等式恒成立问题.【例题 8】若不等式 1-20,b0)的最大值为 12,则2+3的最小值为()A.256B.83C.113D.4解析:在平面直角坐标系中画出不等式组所对应的可行域(如图).-22-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 由 z=ax+by 可得 y=-x+.因为 a0,b0,所以只有当直线y=-x+的截距最大,即经过P 点时,z 的值才取得最大值.而由 3-6=0,-+2=0可得 P(4,6),所以有 4a+6b=12,于是2+3=112(4a+6b)2+3=112 8+12+
9、12+18=112 26+12 +112 26+24 =256,-23-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 当且仅当=,即 a=b 时取等号,故2+3的最小值是256,故选 A.答案:A-24-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 5.线性规划与几何概型【例题 13】已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0b4,0c4.记函数 f(x)满足条件(2)12,(-2)4 为事件 A,则事件 A 发生的概率为()A.14B.58C.12D.38-25-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 解析:由题意,得 4+2+12,4-2+4,0 4,0 4,即 2+-8 0,2-0,0 4,0 4表示的区域如图阴影部分,可知阴影部分的面积为 8,所以所求概率为12,故选 C.答案:C