1、第四节数系的扩充与复数的引入考点要求1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义(对应学生用书第97页)1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR).(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR).(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，即|z|abi|2复数的几何意义复数za
2、bi复平面内的点Z(a，b)平面向量(a，b)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：i(cdi0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)1(1i)22i；i；i2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*).3z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|zn|
3、z|n.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若aC，则a20.()(2)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数()(3)复数zabi(a，bR)的虚部为bi.()(4)方程x2x10没有解()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A1B0C1 D1或1Az为纯虚数，x1.2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34iD13i2i34i，故选D.3设复数z满足i，则|z|等于()A1BCD2Ai，则zi，|z|1.4已知(12i)43i，则z
4、_2i由(12i)43i得2i.z2i.(对应学生用书第97页)考点1复数的概念复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解1.多选若复数z，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()Az的虚部为1B|z|Cz2为纯虚数Dz的共轭复数为1iABC由题意得z1i.对于A，由z1i得复数z的虚部为1，故A正确；对于B，|z|1i|，故B正确；对于C，由于z2(1i)22i，所以z2为纯虚数，故C正确；对于D，z1i的共轭复数1i，故D不正确故选ABC.2(2
5、019唐山模拟)已知2i，则(z的共轭复数)为()A3i B3iC3i D3iC由题意得z(2i)(1i)3i，所以3i，故选C.3(2018全国卷)设z2i，则|z|()A0 B C1 DC法一：因为z2i2ii2ii，所以|z|1，故选C.法二：因为z2i，所以|z|1，故选C.解决此类时，一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点2复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数
6、，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式(1)(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1iC1i D1i(2)计算：()A2 B2 C2i D2i(3)(2019惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1i)2i(i为虚数单位)，则z()Ai Bi1Ci1 Di(4)(2019武汉调研)已知复数z满足z|z|1i，则z()Ai BiC1i D1i(1)D(2)A(3)C(4)B(1)由题意得z1i，故选D.(2)2，故选A.(3)由已知可得1i，则z1i，故选C.(4)法一：设zabi(a，bR)，则z|z|(a)bi1i，所以解得所以zi，故选B.法二：把各选项代入验证，知
7、选项B满足题意(1)在只含有z的方程中，z类似于代数方程中的x，可直接求解；(2)在含有z，|z|中至少两个的复数方程中，可设zabi，a，bR，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.1.(2018全国卷)(1i)(2i)()A3i B3iC3i D3iD(1i)(2i)2i2ii23i.2对于两个复数1i，1i，有下列四个结论：1；i；1；220，其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4C(1i)(1i)2，不正确；i，正确；|i|1，正确；22(1i)2(1i)22i2i0，正确3(2019贵阳模拟)设i为虚数单位，复数z满足i(z1)
8、1，则复数z()A1i B1iC1i D1iC由题意，得z11i，故选C.4已知a为实数，若复数z(a21)(a1)i为纯虚数，则()A1 B0C1i D1iDz(a21)(a1)i为纯虚数，则有a210，a10，得a1，则有1i.考点3复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数abi与复平面上的点(a，b)一一对应(1)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21(
9、2)(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(3)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3，1) B(1，3)C(1，) D(，3)(1)C(2)C(3)A(1)设复数z与i分别表示复平面内的点Z与点P，则P(0，1)，且|zi|表示复平面内点Z与点P之间的距离，所以点Z(x，y)到点P(0，1)的距离为定值1，所以Z的轨迹是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，故选C.(2)z32i，32i，在复平面内，对应的点为(3，2)，此点在第三象限(3)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m
10、3，m1)，所以解得3m1，故选A.复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可1.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1z2对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D由已知(2，1)，(0，1)，所以z12i，z2i，z1z212i，它所对应的点为(1，2)，在第四象限2若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_2设zxyi(x，yR)，由|zi|得|x(y1)i|，所以，所以x2(y1)22，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2.3已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是_1由条件得(3，4)，(1，2)，(1，1)，根据得(3，4)(1，2)(1，1)(，2)，所以解得所以1.