1、第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程基础过关练题组一椭圆的定义及其应用 1.设F1、F2为定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是() A.椭圆B.直线C.圆D.线段2.(2020北京石景山高二上期末)设椭圆x22+y2=1的两个焦点为F1,F2,且点P的坐标为22,32,则|PF1|+|PF2|=()A.1 B.2 C.2 D.223.(2020天津和平高二上期末)已知ABC的顶点B、C在椭圆x23+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是()A.23 B.6 C.43 D.124.设F
2、1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=21,则F1PF2的面积等于()A.5 B.4C.3D.15.(2020北京西城高二上期末)设P是椭圆x225+y29=1上的点,且P到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右焦点的距离为.6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知F1,F2是椭圆x29+y23=1的两个焦点,过F1的直线交此椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|=.题组二椭圆的标准方程7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为()A.x245+y236=1 B.x
3、236+y227=1 C.x227+y218=1 D .x218+y29=18.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是()A.y225+x2=1 B.x225+y2=1C.x225+y2=1或y225+x2=1 D.以上都不对9.(2021重庆八中高二上月考)焦点在x轴上,焦距等于4,且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是.10.(2020天津一中高二上期末质量调查)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P355,-455,则椭圆的方程为.11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=
4、1(ab0)的左,右焦点,当a=2b时,点P在椭圆上,且PF1PF2,|PF1|PF2|=2,求椭圆的标准方程.题组三椭圆标准方程的应用12.椭圆y24+x23=1的焦点坐标为()A.(-1,0),(1,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(0,-1),(0,1)13.(2021江西上饶高二上月考)已知椭圆x210-m+y2m-2=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于()A.4 B.5 C.7 D.814.已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则F1PF2=.15.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=
5、8的距离的比是12,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.16.已知椭圆M与椭圆N:x216+y212=1有相同的焦点,且椭圆M过点-1,255.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且PF1F2的面积为1,求点P的坐标.17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的左,右焦点,|F1F2|=23,P是椭圆C上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若点P在第一象限,且PF1PF214,求点P的横坐标的取值范围.能力提升练题组一椭圆的定义及其应用1.(2020重庆一中高二上期中,)椭圆x225+y2
6、9=1上一点M到左焦点F1的距离是2,N是MF1的中点,O是坐标原点,则|ON|=() A.8 B.4 C.3 D.22.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(易错)A.x236+y220=1(x0) B.x220+y236=1(x0)C.x26+y220=1(x0) D.x220+y26=1(x0)3.()已知F是椭圆C:x29+y25=1的左焦点,P为C上一点,A1,43,则|PA|+|PF|的最小值为()A.103 B.113 C.4 D.1334.(多选)(2020山东潍坊高二上期末,)已知P是
7、椭圆E:x28+y24=1上一点,F1,F2是椭圆E的左,右焦点,且F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是()A.点P的纵坐标为3 B.F1PF22C.F1PF2的周长为4(2+1) D.F1PF2的内切圆半径为32(2-1)5.(2020山东淄博一中高二上期中,)已知动圆M过定点A(2,0),且与定圆B:x2+4x+y2-32=0内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.题组二椭圆的标准方程及其应用6.(2020山东聊城高二上期末,)点P为椭圆x24+y23=1上位于第一象限内的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则PMO的面积的最大值为()A.32 B.3 C.3 D.327.(20
8、20湖南师大附中高二上期中检测,)“方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆”的一个必要不充分条件是()A.m=7 B.7m9 C.5m9 D.5mb0),A(-2,0),B(1,2),C1,32,D1,-32四个点中恰有三个点在椭圆C上,则椭圆C的方程是.10.()动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.答案全解全析基础过关练1.A由|MF1|+|MF2|=2a=8|F1F2|=6知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.故选
9、A.2.D把点P的坐标22,32代入椭圆方程,满足椭圆方程,即点P在椭圆上.由x22+y2=1,得a=2,|PF1|+|PF2|=2a=22.故选D.3.C设另一焦点为F.由F在BC边上及椭圆的定义得|BF|+|BA|=|CF|+|CA|=2a=23,所以ABC的周长为|BC|+|BA|+|CA|=(|BF|+|CF|)+|BA|+|CA|=43.故选C.4.B由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|PF2|=21,|PF1|=4,|PF2|=2,又|F1F2|=25,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,F1PF2是直角三角形,故F1PF2的面
10、积为12|PF1|PF2|=1242=4.5.答案8解析由椭圆的定义知a=5,因为点P到左焦点的距离为2,所以点P到右焦点的距离为25-2=8.6.答案4解析由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+|AF2|+|BF2|=4a=12,因此|AB|=12-(|AF2|+|BF2|)=4.7.D由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1.8.A设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),则925m+16n=1,1625m+9n=1,解
11、得m=1,n=125,椭圆的标准方程为y225+x2=1.故选A.9.答案x236+y232=1解析因为椭圆的焦距等于4,即2c=4,所以c=2. 因为椭圆过点P(6,0),所以a=6.所以b2=a2-c2=36-4=32,所以椭圆的标准方程为x236+y232=1.10.答案x29+y24=1解析根据题意知|PO|=95+165=5=c,故F1(-5,0),F2(5,0).|PF1|+|PF2|=-5-3552+4552+5-3552+4552=4+2=6=2a,a=3,b=2,椭圆的方程为x29+y24=1.11.解析a=2b,b2+c2=a2,c2=3b2.PF1PF2,|PF1|2+|
12、PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,b2=1,a2=4.椭圆的标准方程为x24+y2=1.12.D椭圆y24+x23=1的焦点在y轴上,且a=2,b=3,所以c=1,所以椭圆的焦点坐标为(0,1).故选D.13.D依题意得a2=m-20,b2=10-m0,解得2m10.由焦距为4,得c=2.由c2=a2-b2=(m-2)-(10-m)=2m-12=4,解得m=8.故选D.14.答案120解析由椭圆方程知a=3,b=2,c2=a2-b2=9-2=7,即c=7,|F1F2|=27
13、.|PF1|=4,|PF2|=2a-|PF1|=2.cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=42+22-(27)2242=-12,又0F1PF2b0),则a2-b2=4,1a2+45b2=1,化简并整理得5b4+11b2-16=0,解得b2=1或b2=-165(舍去),所以a2=5,故椭圆M的标准方程为x25+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则PF1F2的面积为124|y0|=1,所以y0=12.又x025+y02=1,所以x02=154,解得x0=152,所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为152
14、,12,-152,12,152,-12,-152,-12.17.解析(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M1,32,F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=23, 2c=23,1a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3.椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设P(x,y)(x0,y0),F1(-3,0),F2(3,0),则PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),PF1PF2=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3, 又x24+y2=1,即y2=1-x24,PF1PF2=x2+y2-3=x2+1-x24-3=14(3x2-
15、8)14, 解得-3x3, x0,0|BC|.所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6).设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),则a=6,c=4,所以b2=a2-c2=20.故椭圆的方程为y236+x220=1(x0).易错警示本题隐含A、B、C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x0导致错误.3.D由椭圆的方程可知,a=3,c=a2-b2=2.如图所示,设F2是椭圆的右焦点.由椭圆的定义可知,|PF|+|PF2|=2a=6,所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF2|=6-(|PF2|-|PA|),所以求
16、|PA|+|PF|的最小值,也就是求|PF2|-|PA|的最大值.由图易知,当P,A,F2三点共线时,|PF2|-|PA|取得最大值,此时(|PF2|-|PA|)max=|AF2|=53,所以|PA|+|PF|的最小值为6-53=133.4.CD由已知得a=22,b=2,c=2.不妨设P(m,n),m0,n0,则SF1PF2=122cn=3,n=32,m28+3224=1,解得m=142,P142,32,|PF1|2=142+22+94=394+214,|PF2|2=142-22+94=394-214,|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=3942-16=720,cosF1PF2=|PF1|
17、2+|PF2|2-(2c)22|PF1|PF2|0,F1PF2b0),则a=3,c=2,b=a2-c2=5,所以所求圆心M的轨迹方程是x29+y25=1.6.A设P(x,y)(x0,y0),因为x24+y23=12x24y23=xy3,即xy3,所以SPMO=12xy32(当且仅当3x=2y时取等号),所以PMO的面积的最大值为32.故选A.7.C方程x29-m+y2m-5=1表示椭圆的充要条件为9-m0,m-50,9-mm-5,解得5m9,且m7.由(5,7)(7,9)(5,9)知,“5m1,矛盾,所以点A(-2,0)在椭圆上,则4a2=1.联立解得a=2,b=3,故椭圆的标准方程为x24+
18、y23=1.10.解析(1)如图,设动圆C的半径为R.由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,|CC2|=22+R,+,得|CC1|+|CC2|=626=|C1C2|.由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,62为2a的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为x218+y29=1(x2).(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则AP=x1,y1-92,AQ=x2,y2-92.由AP=5AQ可得,x1,y1-92=5x2,y2-92,所以x1=5x2,y1=5y2-925+92=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,得x2218+y229=1(x22),25x2218+(5y2-18)29=1(x22),解得x2=0,y2=3,代入得,y1=-3,x1=0,所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.
