1、第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题板块一知识梳理自主学习必备知识考点1判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面区域考点2线性规划中的基本概念必会结论画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证考点自
2、测 1.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案(1)(2)(3)(4)2.2018吉林长春模拟不等式组表示的平面区域是()答案B解析x3y60表示直线x3y60以及该直线下方的区域，xy20表示直线xy20上方的区域故选B.3.课本改编已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A.(24,7)B.
3、(7,24)C.(，7)(24，)D.(，24)(7，)答案B解析根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.故选B.4.不等式组表示的平面区域的面积为()A.4 B1 C5 D无穷大答案B解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.故选B.5.2017全国卷设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A.3,0 B3,2 C0,2 D0,3答案B解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yxz过点A(2，0)时，
4、z取得最大值，即zmax202；当直线yxz过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin033.所以zxy的取值范围是3,2故选B.6.2015福建高考变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A.2 B1 C1 D2答案C解析如图所示，目标函数z2xy取最大值2即y2x2时，画出表示的区域，由于mxy0过定点(0,0)，要使z2xy取最大值2，则目标函数必过两直线x2y20与y2x2的交点A(2,2)，因此直线mxy0过点A(2,2)，故有2m20，解得m1.故选C.板块二典例探究考向突破考向用二元一次不等式(组)表示平面区域 例12018浙江模拟不等式组表示的平面区域的
5、面积为_答案4解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示由得A(8，2)由xy20，得B(0,2)又|CD|2，故S阴影22224.触类旁通如何确定二元一次不等式(组)表示的区域“直线定界，特殊点定域”【变式训练1】若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.a B0a1C.1a D0a1或a答案D解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A；解得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是00时，如图1所示，此时可行域为x轴上方、直线xy20的右上方、直线kxy20的右下方的区域，显然此时zyx无最小值当k1时，zyx取得最小值
6、2；当k1时，zyx取得最小值2，均不符合题意当1k0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值板块三启智培优破译高考题型技法系列 9非线性目标函数的最值问题2016江苏高考已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_解题视点本题中x2y2的几何意义是点(x，y)到原点的距离的平方，不能遗漏平方解析不等式组所表示的平面区域是以点(0,2)，(1,0)，(2,3)为顶点的三角形及其内部，如图所示因为原点到直线2xy20的距离为，所以(x2y2)min，又当(x，y)取点(2,3)时，x2y2取得最大值13，故x2
7、y2的取值范围是.答案答题启示与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成常见代数式的几何意义：(1)表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；(2)表示点(x，y)与点(a，b)之间的距离；(3)表示点(x，y)到直线AxByC0的距离；(4)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；(5)表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. 跟踪训练2018成都模拟设实数x，y满足不等式组则的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，由于可以看作直线的斜率形式，于是问题可以转化为求可行域
8、内的哪些点与点A(1，1)连线的斜率最大、最小问题如图，当直线过点B(1,0)时，斜率最小，此时；当直线与xy0平行时，斜率最大，此时1，但它与阴影区域无交点，取不到故的取值范围是.故选B.板块四模拟演练提能增分 A级基础达标1.2017北京高考若x，y满足则x2y的最大值为()A.1 B3 C5 D9答案D解析作出可行域如图阴影部分所示设zx2y，则yxz.作出直线l0：yx，并平移该直线，可知当直线yxz过点C时，z取得最大值由得故C(3,3)zmax3239.故选D.2.2017浙江高考若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A.0,6 B0,4 C.6，) D4，)答案D解析作出
9、不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范围是4，)故选D.3.2018陕西黄陵中学模拟已知变量x，y满足约束条件目标函数zx2y的最大值为10，则实数a的值等于()A.4 B. C2 D8答案A解析由不等式组可得可行域如图中阴影部分所示，当直线zx2y经过点A(a，a1)时，z取得最大值，由已知得a2(a1)10，解得a4.故选A.4.2018开封模拟设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y2的取值范围为()A.2,8 B4,13C.2,13 D.答案C解析作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数
10、看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得zmin|OA|222，zmax|OB|2322213.故z的取值范围为2,13故选C.5.2015陕西高考某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元 C17万元 D18万元答案D解析设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元则由题意知利润函数z3x4y.画出可行域如图所示，当直线3x4yz0过点B时，目标函数取得最大值由解得故利润函数
11、的最大值为z324318(万元)故选D.6.某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x()A.10 B12 C13 D16答案C解析画出约束条件所表示的区域，即可行域，如图阴影部分所示，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，xab13.故选C.7.2017全国卷设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_答案5解析作出可行域如图阴影部分所示由z3x2y，得yx.作出直线l0：yx，并平移l0，知当直线yx过点A时，z取得最小值由得A(1,1)，zmin3(1)215.8.2018辽宁模拟设变量x，y满足则2x3
12、y的最大值为_答案55解析不等式组表示的区域如图所示，令z2x3y，目标函数变为yx，因此截距越大，z的取值越大，故当直线z2x3y经过点A时，z最大，由于故点A的坐标为(5,15)，代入z2x3y，得到zmax55，即2x3y的最大值为55.9.已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，求m的值解作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx，若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形
13、结合可知，当动直线与直线AB重合时，有无穷多个点(x，y)，在线段AB上，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1.综上可知，m1.10.变量x，y满足(1)设z，求z的最小值；(2)设zx2y2，求z的取值范围；(3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围解由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)因为z，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC|，dmax|OB|.所以2z29.(3)zx2
14、y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点(3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到(3,2)的距离中，dmin1(3)4，dmax8.所以16z64.B级知能提升1.2018南昌调研设变量x，y满足约束条件则z|x3y|的最大值为()A.10 B8 C6 D4答案B解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示当平移直线x3y0过点A时，mx3y取最大值；当平移直线x3y0过点C时，mx3y取最小值由题意可得A(2，2)，C(2,2)，所以mmax23(2)4，mmin2328，所以8m4，所以|m|8，即zmax8.故选B.2.若不等式组表示的平面区域为三角形
15、，且其面积等于，则m的值为()A.3 B1 C. D3答案B解析作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)故选B.3.实数x，y满足不等式组则z|x2y4|的最大值为_答案21解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示z|x2y4|，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的倍由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x2y40的距离最大，此时zmax21.4.2018德州检测若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；
16、(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线xy0，可知zxy过A(3,4)时取最小值2，过C(1,0)时取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.故所求a的取值范围为(4,2).5.2017天津高考电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播
17、放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分中的整数点图1图2(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得则点M的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多
