1、2011.11.9 练习数学试卷一、填空题(共14小题，每小题 5分)1. 在正方体中，直线与平面所成的角是 2. 已知两条不同直线、，两个不同平面、，给出下列命题：若垂直于内的两条相交直线，则；若/，则平行于内的所有直线；若，且，则；若，则；若，且/，则/其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）3. （03年江苏卷）对于四面体ABCD，给出下列四个命题其中真命题的序号是_.（写出所有真命题的序号）4. 若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面的距离为_。5. 若、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则以下命题正确的是 若，则； 若，则；若，则； 若，则 6. 正方
2、体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面_7. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1 的取值范围为 8. 已知、是三棱锥内的四点，且、分别是线段、的中点，若用表示三棱锥的体积，其余的类推则 9. 平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_.10. 点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成的角，则AB的长等于_.11. 与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有_个。 12. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1
3、C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为_。13. （09年大丰调研）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、的四个命题：若；若m、l是异面直线，；若；若其中为真命题的是 .14. （09南通期末调研）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为 二、解答题(共6小题，每小题15分)15. 如图ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA/平面BDE； （）平面PAC平面BDE16. 如图，正三棱柱中，点是的中点. ABCDA1B1C1
4、（）求证: 平面；（）求证:平面.17. 如图，在直三棱柱中，90，30， 是棱的中点. （）求证：； （）求直线与平面所成角的正弦值.18. 点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角DACB（）求的大小；（）求二面角的大小ABCDEFOOFABCDE19. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2) PC和NC的长；3) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函
5、数表示）20. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=8，AA1=4，M为B1C1上一点，且B1M=2，点N在线段A1D上，A1DAN，求：(1) ；(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.答案一、填空题1. 略2. 、 略3. 答案：4. 错解：2错因：没有注意到点A、B在平面异侧的情况。正解：2、145. 略6. 答案：面AD1C点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，易瞎猜。7. AC1(4,5)8. 解析：记为点到平面的距离其余类推设 ， ， 设延长后交平面于
6、则 ，又， 同理， 9. 错解：。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：10. 错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。11. 712. 13. 答案： 14. 答案： 二、解答题15. 证：（）连接AC、OE，ACBD=O， 在PAC中，E为PC中点，O为AC中点PA / EO， 又EO 平面EBD ，PA 平面EBD，PA /BDE （）PO底面ABCD，POBD 又BDAC，BD平面PAC 又BD平面BDE，平面PAC平面BDE略16. (本小题满分14分)证:（）因为是正三角形,而是的中
7、点，所以 3分又BC是两个相互垂直的平面与面的交线,且,所以 7分（）连接,设,则E为的中点,连接,由是的中点,得11分 又,且,所以平面14分略17. 解：（）因为平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，所在直线为轴， 轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B（0，1，0），A（，0，0）,，所以=（，1，）,（，0，），所以=3+0-3=0，所以,即5分 （）由（）知，=（0，0，），设面的法向量为，则不妨取，设直线AM与平面所成角度为,则所以直线AM与平面所成角的正弦值为10分 (注:其它建系方法与解法,类似给分)略18. 解法一：（）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHA
8、C，垂足为H，则，GHMABCDEFODCMHGOFABE因为二面角DACB为直二面角， 又在中， （）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小为xyzABCDEFO解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，（）设平面OEF的法向量为由得解得所以，又因为平面AOF的法向量为， 所以，二面角的大小为19. 解析： 正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为如图1，将侧面BC1
9、旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。设PC，则P1C，在连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，。20. 解析：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴.则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4) (2) 由(1)知A1DAM，又由已知A1DAN，平面AMN，垂足为N.因此AD与平面所成的角即是易知(3) 平面ABCD，A1N平面AMN，分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则