1、 4.2 空间图形的公理 空间图形多种多样，但它们的基本关系很容易观察到，一个小小的长方体，就包含了所有的基本关系.上节课我们学习了哪些基本关系？初中的时候，我们学习了一些基本事实（公理）：两点确定一条直线 两点之间线段最短 过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行 思考：两点确定一条直线，那么怎样确定一个平面呢？文字语言图形语言符号语言公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个平面.ABC作用：一确定平面;二用来证明点、线共面 ABCABC 唯一，不共线 推论：1、一条直线和直线外一点确定一个平面 2、两条相交直线确定一个平面 3、两条平行直线确定一个平面mBA.l
2、作用：用来判断直线是否在平面内 公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.文字语言图形语言符号语言?思考：直线与平面的位置关系有几种？分别是什么？线在面内 线面相交 线面不相交-线面平行 同学们能否用图形语言表示以上三种线面关系？文字语言图形语言符号语言？公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.Pl作用:一是判定两个平面是否相交;二是判断点在直线上.思考1:设直线a/b，将直线a在空间中作平行移动，在平移过程中a与b仍保持平行吗（前提是二者不重合）？探究点1 平行公理 提示：平行.思考2:如图,在长方体ABCD-ABCD中,BB
3、AA，DDAA，那么BB与DD平行吗?CBCADBAD提示：平行.思考3：取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD 的中点，将纸板沿EF折起，在空间中直线AD与BC的 位置关系如何?AFEDCBABCDEF提示：平行.若ab，bc,公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.则ac.问题：观察下列图形，直线与直线的位置关系有哪些？探究点2 异面直线（2）如图中直线a和b在同一个平面内，但没有公共点，这样的两条直线叫作平行直线，记作：ab；空间两条直线的位置关系有三种:（1）如图中直线a和b只有一个公共点A，这样的两条直线叫作相交直线，记作：ab=A；(3)如图中直线AD与直线BB1；直线A
4、D与直线BD1，它们不同在任何一个平面内，这样的两条直线叫作异面直线.为了表示异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图:abab【提升总结】对于异面直线的几点认识(1)若直线a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平 面,使其同时经过a,b 两条直线.(2)不能误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.(3)画异面直线时,为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点,常常需要以辅助平面作为衬托,以加强直观性.例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与C1D1，AD1与 BC1，AA1与CC1，AC与A1C1是什么位置关系？C1ABCDA1B1D1解:ABC1D1，A
5、D1BC1，AA1 CC1，ACA1C1.例2 在空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.BCEDGFAH证明:如图，连接BD.因为FG是CBD的中位线，所以.21,/BDFGBDFG又因为EH是ABD的中位线，所以.,/4.21,/EHFGEHFGBDEHBDEH且，根据公理所以四边形EFGH是平行四边形.思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？探究点3 “等角”定理 提示：相等或互补.思考2:如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是平 行四边形，ADC与ADC,ADC与BA
6、D 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?BADCABDCBADCABDC提示：相等.提示：互补.思考3:综上分析我们可以得到什么定理?提示：空间中,如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.1l2lPab探究点4 两条异面直线所成的角 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线 a和 b，ababO 则这两条线所成 的锐角（或直角），称为异面直线a，b所成的角.若两条异面直线所成角为90，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直记作:ab.异面直线所成角 的取值范围：.02（，例3 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD在原 正方体中的
7、位置关系是（）.AB(D)CC A BDA.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60 D 解：选D.将上面的展开图还原成正方体，点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，从而ABC是等边三角形.所以选D.例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1中指出下列各对线段所成的角：（1）AB与CC1.（2）A1 B1与AC.（3）A1B与D1B1.B1CC1ABDA1D1解：（1）AB与CC1所成的角 等于90.（2）A1 B1与AC所成的角 等于45.（3）A1B与D1B1所成的角 等于60.【提升总结】求异面直线所成角的步骤:异面直线所成角 相交线所成的角 解三角形求角(取锐角或直角)平移
8、 构造三角形 即：“作证算答”注意：对于有数据的题目，要注意勾股定理，三角函数，边边关系，对于有关中点的题目要留意三角形中位线.1.判断对错：（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.()（2）空间两条不相交的直线一定是异面直线.()（3）垂直于同一条直线的两条直线必平行.()（4）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它 一定与另一条直线垂直.()2.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面 B平行 C相交 D以上都有可能【解析】选D.如图，ab，c与d相交，a与d异面 D 3直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条 直线的平面的个数为()A1 B3 C6 D0【解析】选B.以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个 B 1.空间直线的平行关系及相关定理.2.异面直线的定义及两条异面直线所成的角.3.求异面直线所成的角的一般方法.“作证算答”不能因为我们感觉不到温暖就否定太阳的存在；不能因为我们感觉不到真诚就否定人间真诚的存在.