1、2.6.2双曲线的几何性质学 习 任 务核 心 素 养1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)2理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程(重点)3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)1通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养2借助于几何性质的应用，提升逻辑推理、数学运算素养我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0，1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！HS*9知识点1双曲线的
2、几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)性质图形焦点(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)焦距2c范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b离心率e(1，)渐近线yxyx1能否用a，b表示双曲线的离心率？提示能e2离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？提示有影响，因为e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的
3、开口就越大1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx()(2)离心率越大，双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大()答案(1)(2)提示(1)由1，得yx，所以渐近线方程为yx(2)由(e1)，所以e越大，渐近线yx斜率的绝对值越大知识点2等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线是yx，离心率e2等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则它的标准方程是()A1B1C1 D1B等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，设等轴双曲线的标准方程为1，a0，且a2a236，解得a218故等轴双曲线的标准方程是1 类型1由双曲线的标准方程求其简单的几
4、何性质【例1】(对接教材人教B版P145例1)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程解将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yxx由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质跟进训练1求双曲线1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程解由题意知a23，b24，所
5、以c2a2b2347，解得a，b2，c因此，双曲线的实轴长2a2，虚轴长2b4顶点坐标为(，0)，(，0)，焦点坐标为(，0)，(，0)离心率e，由于该双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为yx，即yx 类型2由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程(1)过点P(3，)，离心率e；(2)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)解(1)依题意，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下：若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)由e，得由点P(3，)在双曲线上，得1又a2b2c2，结合，得a21，b2双曲线的方程为x21若双曲线的焦
6、点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)同理有，1，a2b2c2，解得b2(不合题意，舍去)故双曲线的焦点只能在x轴上，所求双曲线的方程为x21(2)法一：双曲线1的渐近线方程为yx当所求双曲线的焦点在x轴上时，设标准方程为1(a0，b0)，由题意，得解得a2，b24双曲线的方程为1当所求双曲线的焦点在y轴上时，设标准方程为1(a0，b0)，由题意可得此方程组无解，所求双曲线的方程为1法二：所求双曲线与双曲线1有共同的渐近线设所求双曲线的方程为(0)将点(3，2)代入，得，即，双曲线的方程为，即为1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转
7、化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程(0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0，b0)(3)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2a2)(4)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)(5)渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0)(6)渐近线为axby0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)跟进训练2求适合下列条件的双曲
8、线的标准方程：(1)一个焦点为(0，13)，且离心率为；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c13，又，a5，b2c2a2144，故其标准方程为1(2)双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则A(2，3)在双曲线上，1由联立，无解若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则A(2，3)在双曲线上，1由联立，解得a28，b232所求双曲线的标准方程为1 类型3求双曲线的离心率【例3】已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，求E的离心率解设双曲
9、线方程为1(a0，b0)，如图所示，|AB|BM|，ABM120，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|a，|MN|a，故点M的坐标为M(2a，a)，代入双曲线方程得a2b2，所以e(变换条件)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，若PF1PF2且PF1F230，求离心率解在直角三角形PF1F2中，由题设可知：|F1F2|2c，|PF2|c，|PF1|c，又|PF1|PF2|2a，所以2acc，e1因为e，c，所以e又，所以b2a2(e21)因此，在双曲线的四个参数a，b，c，e中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个跟进训练3已知双曲线的渐近线方程是y4x，则其离
10、心率为_或若双曲线焦点在x轴上，依题意得，4，16，即16，e217，e若双曲线焦点在y轴上，依题意得，4，即e2，故e，即双曲线的离心率是或 类型4求双曲线的渐近线方程【例4】如图，已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230，求双曲线的渐近线方程解设F2(c，0)(c0)，P(c，y0)，则1，解得y0|PF2|在RtPF2F1中，PF1F230，则|PF1|2|PF2|由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a由，得|PF2|2a|PF2|，2a，即b22a2渐近线方程为yx1双曲线1的渐近线方程为yx，双曲线1的渐近线方程为yx，
11、两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程2若已知渐近线方程为mxny0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，可用下面的方法来解决：方法一：分两种情况设出方程进行讨论方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m2x2n2y2(0)，求出即可显然方法二较好，避免了讨论跟进训练4双曲线C的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F1，F2，虚轴的一个端点为A，若AF1F2是顶角为120的等腰三角形求双曲线C的渐近线方程解因为AF1F2是顶点为120的等腰三角形所以cb，所以c23b2，即a2b23b2，a22b2，解得，或所以双曲线的渐近线方程为yx或y
12、x1若0ka，则双曲线1与1有()A相同的实轴B相同的虚轴C相同的焦点D相同的渐近线C0ka，a2k20c2(a2k2)(b2k2)a2b22中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A1B1或1C1D或1B实轴长为10，虚轴长为6，所以a5，b3当焦点在x轴上时，方程为1；当焦点在y轴上时，方程为13已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程是yx，则双曲线的离心率为()ABCDB由双曲线的渐近线方程是yx知，所以ba，所以c2a2b2a2a2a2，所以e2，所以e故选B4已知双曲线的渐近线方程为y，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是_1或y21若双曲线的焦点在x轴上，则，2b
13、4，解得b2，a4，所以此时双曲线的标准方程为1；若双曲线的焦点在y轴上，则，2b4，解得b2，a1，所以此时双曲线的标准方程为y21综上可知，该双曲线的标准方程是1或y215已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_y21双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线为xy0，1a2，又，b，双曲线方程为y21回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何用几何图形解释c2a2b2？a，b，c在双曲线中分别表示哪些线段的长？提示由于c2a2b2，则a，b，c就是图中RtOAB的三边长，其中a为半实轴长，b为半虚轴长，c这从另一个角度反映了参数a，b，c的几何意义2双曲线的渐近线确定时，其标准方程能确定吗？提示不能，每条双曲线对应唯一一组渐近线，但当渐近线确定时，它对应无数条双曲线且焦点可能在x轴上，也可能在y轴上3双曲线的焦点到渐近线的距离是否为定值？提示是双曲线的焦点到渐近线的距离为b设双曲线1(a0，b0)，一条渐近线为yx，即bxay0，一个焦点为(c，0)，则焦点到渐近线的距离db此结论在解题时可直接应用