1、南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分NY（第3题）开始开始 1 已知集合，则 【答案】2 设复数满足（是虚数单位），则复数的 模为 【答案】3 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 【答案】4 “”是“”成立的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）(第5题)0.01000.01750.00250.00500.0150 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h【答案】必要不充分5 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘
2、制的频率分布 直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】6 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 【答案】47 从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 【答案】O11515x(第9题)y8 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为 【答案】9 函数，在上的部分图象如图所示，则的值为 【答案】10各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，数列的通项公式an= 【答案】11已知函数是偶函数，直线
3、与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，若，则实数的值为 【答案】12过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点则点的坐标为 【答案】13在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，CD若，则的值为 【答案】14已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是 【答案】二、解答题15如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等 （1）求证：平面； （2）求证：平面平面（第15题） 证明：（1）在矩形中， 又平面， 平面， 所以平面 6分
4、（2）如图，连结，交于点，连结， 在矩形中，点为的中点， 又， 故， 9分 又， 平面， 所以平面， 12分 又平面， 所以平面平面 14分16在ABC中，角，所对的边分别为，c已知 （1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围解：（1）在ABC中， ， 3分 因为，所以， 所以， 5分 因为，所以， 因为，所以 7分 （2） 11分 因为，所以， 故，因此， 所以 14分17某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其
5、中为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为）（1）设室内，室外温度均分别为，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为， 且试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用，及表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题） 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为， 则， 2分 6分 9分 （2）由（1）知， 当4%时，解得（mm）
6、答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% 14分 18如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为（第18题）分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值 （1）解：由题意，得，故， 从而， 所以椭圆的方程为 5分 （2）证明：设直线的方程为， 直线的方程为， 7分 由得，点，的横坐标为， 由得，点，的横坐标为， 9分 记， 则直线，的斜率之和为 13分 16分19已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列 （1）若，求数列的前项和；（2）若存在正整数，使得试比较与的大小，并说明理由解：（1）
7、依题意， 故， 所以， 3分 令， 则， 得， ， 所以 7分 （2）因为， 所以，即， 故， 又， 9分 所以 11分（）当时，由知 ， 13分 （）当时，由知 ， 综上所述，当时，；当时，；当时， 16分（注：仅给出“时，；时，”得2分）20设是定义在的可导函数，且不恒为0，记若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是 否为“2阶负函数”？并说明理由 解：（1）依题意，在上单调递增， 故
8、 恒成立，得， 2分 因为，所以 4分 而当时，显然在恒成立， 所以 6分 （2）先证： 若不存在正实数，使得，则恒成立 8分 假设存在正实数，使得，则有， 由题意，当时，可得在上单调递增， 当时，恒成立，即恒成立， 故必存在，使得（其中为任意常数）， 这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当时，即； 13分 再证无解： 假设存在正实数，使得， 则对于任意，有，即有， 这与矛盾，故假设不成立， 所以无解， 综上得，即， 故所有满足题设的都是“2阶负函数” 16分南通市2013届高三第三次调研测试数学附加题参考答案及评分建议21【选做题】A选修41：几何证明选讲（第21A题） 如图，的
9、半径为3，两条弦，交于点，且， ， 求证： 证明：延长交与点， 2分 由相交弦定理得 ， 6分 又， 故， 8分 所以， 而， 所以 10分 B选修42：矩阵与变换 已知矩阵不存在逆矩阵，求实数的值及矩阵的特征值 解：由题意，矩阵的行列式，解得， 4分 矩阵的特征多项式 ， 8分 令并化简得， 解得或， 所以矩阵的特征值为0和11 10分C选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知，其中设直线与 的交点为，求动点的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程 解：直线的方程为， 直线的方程为， 2分 由解得，动点的轨迹的参数方程为（为参数，且）， 6分 将平方得， 将平方得， 8分 由得，
10、10分 （注：普通方程由直接消参可得漏写“”扣1分）D选修45：不等式选讲 已知，求证： 证明：先证， 只要证， 即要证， 即要证， 5分 若，则，所以， 若，则，所以， 综上，得 从而， 8分 因为， 所以 10分 22【必做题】 设且，证明：证明：（1）当时，有，命题成立 2分 （2）假设当时，命题成立， 即 成立， 4分 那么，当时，有 + 所以当时，命题也成立 8分 根据（1）和（2），可知结论对任意的且都成立 10分 23【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中，部分的面积各占转盘面积的，游戏规则如下： 当指针指到， ，部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分
11、； （）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按获得相应的积分，游戏结束； （）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是 否继续游戏正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积 分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束（第23题）设某人参加该游戏一次所获积分为（1）求的概率； （2）求的概率分布及数学期望 解：（1）事件“”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分 后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥， 所以； 4分 （2）的所有可能取值为0，10，40，100， 由（1）知， 又， ， ， 所以的概率分布为：010401007分 因此，（分） 10分