1、2020-2021学年天津市滨海新区塘沽一中高一（下）期中数学试卷一选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1在复平面内，复数zi（1+2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2以下命题正确的是（）ABCD3如图，已知等腰三角形OAB，OAAB是一个平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD4在ABC中，已知a2，则B（）ABC或D或5已知向量（2，1），10，|+|，则|（）ABC5D256如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则（）ABCD7如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和
2、30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A100米B50米C50米D50（+1）米8若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）ABCD9已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n10在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc，若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形11四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）ABCD21
3、2如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AB，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：C1M平面A1ABB1；A1BNB1；C1ANB1C；平面AMC1平面CBA1其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4二填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13已知平面向量，若，则实数k 14已知复数z满足z（2i）|34i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是 15侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为 ；外接球表面积为 16如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为 17在ABC中，a，b，c分别为内
4、角A，B，C的对边，c3，且，则A ； 18已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A，且，则的值为 三解答题（本大题共4小题，共60分）19已知向量，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值20ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c2b）cosA+acosC0（1）求A；（2）若a4，b+c2，求ABC的面积21如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：ACBD1；（3）求证：平面AB1D1平面BDC122如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AB1，AD2，PA平面ABCD，E为
5、PD的中点（1）证明：PB平面AEC；（2）若三棱锥PABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由参考答案一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1在复平面内，复数zi（1+2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：zi（1+2i）i+2i2+i，复数z所对应的点为（2，1），故选：B2以下命题正确的是（）ABCD解：0，所以A不正确；，所以B不正确；，所以C正确；是与共线的向量，是与共线的向量，所以D不正确；
6、故选：C3如图，已知等腰三角形OAB，OAAB是一个平面图形的直观图，斜边OB2，则这个平面图形的面积是（）AB1CD解：RtOAB是一平面图形的直观图，斜边OB2，直角三角形的直角边长是，直角三角形的面积是 1，原平面图形的面积是122，故选：D4在ABC中，已知a2，则B（）ABC或D或解：ABC中，已知a2，则由正弦定理可得 ，即 ，求得sinB，B 或B，故选：D5已知向量（2，1），10，|+|，则|（）ABC5D25解：|+|，|（+）22+2+250，得|5故选：C6如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则（）ABCD解：由可知，+，故选
7、：C7如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A100米B50米C50米D50（+1）米解：设ABxm，则由题意，D30，ACB45，在RtABC中，BCABx，在RtADB中，DBCD+BC100+x，DBAB，即100+xx，解得x50（+1）m山AB的高度为50（+1）米故选：D8若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）ABCD解：如图所示，设圆锥的底面半径为r，则高为h2r，所以圆锥的体积为V圆锥r22r，r1，h2，l，则此圆锥的侧面积为S侧面积rl1故选：A9已知m，n表示两条不
8、同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选：B10在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2a2+bc，若sinBsinCsin2A，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：在ABC中，b2+c2a2+bc，cosA，A（0，），sin Bsin Csin2A，bca2，代入b2+c2a2+bc，（bc）20，解得bcABC
9、的形状是等边三角形故选：C11四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得，若点F为线段BC上的动点，则的最小值为（）ABCD2解：如图建立平面直角坐标系，则E（1，1），F（1，y），（0y1），2+y（y1）y2y+2（y）2+，当y时，则取得最小值故选：C12如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AB，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：C1M平面A1ABB1；A1BNB1；C1ANB1C；平面AMC1平面CBA1其中正确结论的个数为（）A1B2C3D4解：由题意知，A1B1C1是以A1B1为底边的等腰三角形，又M是A1B1的中点，C1MA
10、1B1，又平面A1B1C1平面平面A1ABB1，C1M平面A1B1C1，平面A1B1C1平面平面A1ABB1A1B1，C1M平面A1ABB1，故正确，不妨设AA11，则BB11，AB，BN，则AA1BBNB1，则BNB1+NBA1，则A1BNB1，故正确，连接BC1，交B1C于点P，连接NP，易证NPC1A，又由NP平面NB1C，C1A平面NB1C，故C1A平面NB1C，故正确，A1BAM，C1MA1B，A1B平面AMC1，又A1B平面CBA1，平面AMC1平面CBA1，故正确，故选：D二填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13已知平面向量，若，则实数k3或1解：，且，3k（k2）0
11、，解得k1或3故答案为：1或314已知复数z满足z（2i）|34i|（其中i为虚数单位），则复数z的共轭复数是2i解：由z（2i）|34i|，得z，则故答案为：2i15侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为24；外接球表面积为25解：由题意，侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为V；正四棱住的对角线长为，则正四棱住的外接球的半径为r，外接球的表面积S4r2425故答案为：24；2516如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1到平面EBD的距离为解：，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，BEDE，BD2，设点C1到平面EBD的距离为h
12、，则，所以h，解得h故答案为：17在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，c3，且，则A；解：由2absinC（b2+c2a2），得2absinC2bc2bccosA，可得asinCccosA，即sinAsinCsinCcosA，由sinC0，可得tanA，由A（0，），可得A，又，c3，由余弦定理得a2b2+c22bccosA，即13b2+96b，整理得b23b40，得b4或b1（舍），所以故答案为：，18已知点O是锐角ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，A，且，则的值为解：分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，可得c2，b2，设ABC的外接圆的半径为R，由
13、正弦定理可得2R，由，两边点乘，可得（）+（）22，即ccosBbcosC2R2，所以2R（ccosB+bcosC）2R2，所以（c+b）2R，所以a2R，所以sinA故答案为：三解答题（本大题共4小题，共60分）19已知向量，（1）求与的夹角；（2）求；（3）若，求实数k的值解：（1），设向量与的夹角为，则，又由0，即向量与的夹角为；（2）；（3），且，3（2k3）（k+1）0，解得：k220ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（c2b）cosA+acosC0（1）求A；（2）若a4，b+c2，求ABC的面积解：（1）因为（c2b）cosA+acosC0，由正弦定理得sinCc
14、osA2sinBcosA+sinAcosC0，故sin（A+C）2sinBcosA，所以sinB2sinBcosA，因为sinB0，所以cosA，因为A（0，），所以A；（2）a4，b+c2，A，由余弦定理得cosA，故bc4，ABC的面积S21如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求异面直线AC与BC1所成角的大小；（2）求证：ACBD1；（3）求证：平面AB1D1平面BDC1解：（1）连结AD1、CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1，四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1AD1，由此可得D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角AD1C是等
15、边三角形，D1AC60，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60；证明：（2）在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，ACDD1，又ACBD，且DD1BDD，AC平面BDD1，BD1平面BDD1，ACBD1；证明：（3）在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，ADB1C1，四边形AB1C1D是平行四边形，得AB1C1D，又AB1平面AB1D1，C1D平面AB1D1，C1D平面AB1D1，同理可证C1B平面AB1D1又C1BC1DC1，平面AB1D1平面BDC122如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AB1，AD2，PA平面ABCD，E为PD
16、的中点（1）证明：PB平面AEC；（2）若三棱锥PABD的体积为，求直线PC与平面PAD所成角的正切值；（3）在第二问的条件下，若M为线段PB中点，N为线段BC上的动点，平面AMN与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，底面ABCD是矩形，O是BD的中点，又E为PD的中点，EOPB，EO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC（2）解：，又，PA1，又PA底面ABCD，所以PACD，在矩形ABCD中ADCD，且PA、AD平面PAD，所以CD平面PAD，则直线PC与平面PAD所成角为CPD，所以，所以直线PC与平面PAD所成角的正切值为（3）解：平面AMN与平面PBC互相垂直，理由如下：因为PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC因为ABCD为正方形，所以ABBC，又PAABA，且PA，AB平面PAB，所以BC平面PAB因为AM平面PAB，所以AMBC因为PAAB，M为线段PB的中点，所以AMPB，又PBBCB，且PB，BC平面PBC，所以AM平面PBC，因为AM平面AMN，所以平面AMN平面PBC