1、-1-第二章 数列-2-2.1 数列-3-2.1.1 数列-4-2.1.1 数列 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 课程目标学习脉络1.理解数列的概念,了解数列的几种分类.2.理解数列通项公式的概念及意义.3.了解数列与函数的关系.-5-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 1.数列的有关概念(1)数列的定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做这个数列的项.(2)数列的一般形式
2、可以写成 a1,a2,a3,an,其中 an 是数列的第 n 项,叫做数列的通项,一般形式的数列简记作an,这里an是数列的简记符号,并不表示一个集合.思考 1 数列 2,3,4,5,6 与集合2,3,4,5,6有何区别?提示:数列 2,3,4,5,6 是按一定的次序排列的,打乱顺序后又产生新的数列;而2,3,4,5,6中元素无论按怎样的顺序排列都是同一个集合.-6-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 2.数列的通项公式如果数列an的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个函数式 a
3、n=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.-7-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 特别提醒 1.数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集1,2,n为定义域的函数表达式.2.如果知道了数列的通项公式,那么依次用 1,2,3,去替代公式中的 n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项,如果是的话,是第几项.-8-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG
4、 LIANXI随堂练习 3.与所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.如 2的不足近似值,精确到 1,0.1,0.01,0.001,0.000 1,所构成的数列 1,1.4,1.41,1.414,1.414 2,就没有通项公式.-9-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 4.有的数列的通项公式,在形式上不一定是唯一的,正如数列:-1,1,-1,1,-1,1,它可以写成 an=(-1)n,也可以写成 an=-1,为奇数,1,为偶数,还可以写成 an=(-1)n+2(n
5、=1,2,3,)等,这些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.5.有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一.4.有的数列的通项公式,在形式上不一定是唯一的,正如数列:-1,1,-1,1,-1,1,它可以写成 an=(-1)n,也可以写成 an=-1,为奇数,1,为偶数,还可以写成 an=(-1)n+2(n=1,2,3,)等,这些通项公式,形式上虽然不同,但都表示同一个数列.5.有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一.-10-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识
6、 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 3.数列与函数的关系在数列an中,对于每一个正整数n(或n1,2,k),都有一个数an与之对应,因此,数列可以看成以正整数 N+(或它的有限子集1,2,k)为定义域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1,2,3,)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),f(n),其图象是一系列孤立的点.-11-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDI
7、AN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 2 数列an与函数 f(n)=an(nN+)的区别如何?提示:(1)数列an与函数 f(n)=an(nN+)是不同的,an中的元素具有有序性,如将 a1,a2,a3,an 排成 a3,a1,a2,an,则为不同的数列,而对于函数f(n)=an(nN+)来说却是一样的.(2)数列中,自变量的取值更有规律性,必须从小到大取正整数.-12-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 4.数列的分类(1)按项的个数分类 类别含义有穷数列项数有限的数
8、列无穷数列项数无限的数列(2)按项的变化趋势分类 类别含义递增数列从第二项起,每一项大于它的前一项的数列递减数列从第二项起,每一项小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列-13-2.1.1 数列 JICHU ZHISHI基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 SUITANG LIANXI随堂练习 思考 3 是否存在一个各项都小于 5 的无穷递增数列?如果存在,请写出一个这样的数列的通项公式.(提示:先定义一个在(0,+)上,且函数值都小于 5 的函数)提示:存在这样的数列,如 an=-1,an=5-2等均满足条件.-14-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDI
9、AN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 数列的概念运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是:(1)判断这组元素是否都是数;(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列.注意:按一定顺序不表示该数列具有规律性,即数列中的每一项可以是有规律的,也可以是无规律的.【典型例题 1】下列叙述正确的是()A.数列 1,3,5,7 和数列 3,1,5,7 是同一个数列B.同一个数在数列中可能重复出现C.数列的通项公式是定义域为正整数集 N+的函数D.数列的通项公式是唯一的-15-2.1.1 数列 ZHO
10、NGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解析:根据数列的定义,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,因此,A 是错误的;数列的通项公式的定义域是正整数集 N+或它的有限子集,因此,C 是错误的;数列-1,1,-1,1,-1,1,的通项公式可以写成 an=(-1)n,也可以写成 an=(-1)n+2,还可以写成分段函数的形式,因此,D 是错误的;而数列中的数可以重复出现,故选 B.答案:B-16-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIA
11、N重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 根据通项公式求项数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系,只要用序号代替公式中的 n,便可以求出相应的各项,实际上相当于已知函数的定义域和解析式,求函数值.【典型例题 2】根据下面数列的通项公式,写出它们的前 5 项.(1)an=2+1;(2)an=3n+2n.思路分析:已知数列的通项公式,依次用 1,2,3,代替公式中的 n,便可以求出数列的各项.-17-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 J
12、ICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解:(1)在通项公式 an=2+1中,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 5 项为a1=121+1=13,a2=222+1=25,a3=323+1=37,a4=424+1=49,a5=525+1=511.(2)在通项公式 an=3n+2n 中,依次取 n=1,2,3,4,5,得到数列的前 5 项为a1=31+21=5,a2=32+22=10,a3=33+23=17,a4=34+24=28,a5=35+25=47.-18-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDI
13、AN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 由数列的前几项写出其通项公式1.根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是:(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等.(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式.(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)k 处理符号.(4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.-19-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 J
14、ICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2.常见数列的通项公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,的通项公式是 an=(-1)n;(2)数列 1,2,3,4,的通项公式是 an=n;(3)数列 1,3,5,7,的通项公式是 an=2n-1;(4)数列 2,4,6,8,的通项公式是 an=2n;(5)数列 1,2,4,8,的通项公式是 an=2n-1;(6)数列 1,4,9,16,的通项公式是 an=n2;(7)数列11,12,13,14,的通项公式是 an=1;(8)数列 1,3,6,10,的通项公式是 an=(+1
15、)2.-20-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六【典型例题 3】写出下列数列的一个通项公式:(1)12,2,92,8,252,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)1,2,1,2,1,2,;(4)9,99,999,9 999,.思路分析:通过分析各小题已知项的数字特征的共性及常见的描述方法写出各小题的通项公式.-21-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LI
16、ANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解:(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一写成分数形式再观察:12,42,92,162,252,所以它的一个通项公式为 an=22.(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9,是连续的正奇数,并且奇数项为正,偶数项为负,所以数列的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1).(3)这是一个摆动数列,奇数项是 1,偶数项是 2,所以此数列的一个通项公式为 an=1,为奇数,2,为偶数.(4)这个数列的前 4 项可以写成 10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项公式为 an=10n
17、-1.-22-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 判断数列的单调性数列an增减性的判定方法:(1)作差比较法若 an+1-an0 恒成立,则数列an是递增数列;若 an+1-an10an+1an 0递增数列递减数列常数列an0.(1)求数列an的通项公式;(2)判断数列an的增减性.思路分析:先根据已知条件解方程求 an,然后利用作差法或作商法判断数列an的增减性.-24-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页
18、JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解:(1)f(x)=x-1,f(an)=-2n,an-1=-2n,即2+2nan-1=0,解得 an=-n 2+1,an0,an=2+1-n.-25-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六(2)法一(作差法):an+1-an=(+1)2+1-(n+1)-(2+1-n)=(+1)2+1 2+1-1=(+1)2+1-2+1(+1)2
19、+1+2+1(+1)2+1+2+1-1=(+1)+(+1)2+1+2+1-1,-26-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 又(+1)2+1n+1,2+1n,(+1)+(+1)2+1+2+11.an+1-an0,即 an+10,+1=(+1)2+1-(n+1)2+1-n=2+1+n(+1)2+1+(n+1)1.an+1an.数列an是递减数列.-28-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI
20、基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 数列与函数的关系1.数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题.2.根据数列的特殊性,由于它的定义域是 N+或它的有限子集1,2,n,因而它的图象是一系列孤立的点,而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线.3.利用数列(函数)的单调性可以求数列中的最大(最小)项.一般常用方法为:利用当 +1,-1 时,an 是数列中的最大项;当 +1,-1 时,an 是数列中的最小项来求数列的最值.-29-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NAN
21、DIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六【典型例题 5】已知数列an的通项公式是 an=(n+1)1011,试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.思路分析:探求数列的最大项可以通过作差或不等式组解决.解:法一:an+1-an=(n+2)1011+1-(n+1)1011=1011 9-11,则:当 n0,即 an+1an;当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an;当 n9 时,an+1-an0,即 an+1an.a1a2a3a11a12,
22、该数列中有最大项,为第 9,10 项,且 a9=a10=10 1011 9.-30-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 法二:根据题意,令-1 ,+1,即 1011-1(n+1)1011,(+1)1011 (n+2)1011+1,解得 9n10.又 nN+,n=9 或 n=10.该数列中有最大项,为第 9,10 项,即 a9=a10=10 1011 9.-31-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU
23、ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 点评研究数列的最大(小)项问题的常用途径:(1)由于数列是特殊的函数,可画出数列的图象求得数列的最大项,需注意使 an 为最大项的 n 值必须是正整数;(2)利用不等式组-1 ,+1 找到最大项 an.-32-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 易错辨析易错点:未考虑到数列是一种特殊的函数而致误【典型例题 6】已知在数列an中,an=n
24、2-kn(nN+),且an单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-,2B.(-,3)C.(-,2)D.(-,3错解:因为 an 是关于 n 的二次函数,其定义域为正整数集,故若an递增,则必有21,故 k2.故选 A.-33-2.1.1 数列 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 SUITANG LIANXI随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 错因分析:函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调,则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调.关键原因在于数列是一个定义域为正整数集 N+
25、(或它的有限子集1,2,3,n)的特殊函数,故对于数列的单调性的判断一般要通过比较 an+1与 an 的大小来判断:若 an+1an,则数列为递增数列;若 an+10,即 2n+1-k0 恒成立,所以 k2n+1,故只需 k3 即可.故选 B.答案:B-34-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 51.下列说法不正确的是()A.数列可以用图象来表示B.数列的通项公式不唯一C.数列中的项不能相等D.数列可以用一群孤立的点表示答案:C-35-2.1.1 数列 SUITANG LI
26、ANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 52.在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,中,x 的值是()A.19B.20C.21D.22解析:观察数列可得规律:1+1=2,1+2=3,2+3=5,8+13=x=21,13+21=34,x=21,故选 C.答案:C-36-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 53.以下四个数中,哪个数是数列n(n+1)中的一项()A.380B.39C.32D
27、.23解析:n(n+1)是这个数列的通项公式,即 an=n(n+1).380=1920=19(19+1),380 是该数列中的第 19 项,或者令n(n+1)=380,得 n=19,是整数,符合题意.故选 A.答案:A-37-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 54.先填空,再写出数列的一个通项公式.(1)1,2,(),2,5,(),7,;(2)2,1,(),12,;(3)32,94,(),6516,.解:通过观察,找出所给几项的内在规律是解答本题的前提.(1)因为 1=1
28、,2=4,故数列缺少部分为 3,6.数列的通项公式 an=;(2)因为 2=21,1=22,12=24,所以数列缺少部分为23,数列的通项公式为 an=2;(3)先将原数列变形为 112,214,(),4 116,应填 318,数列的通项公式为an=n+12.-38-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 55.分别写出下列数列的一个通项公式:(1)-114,329,-5 316,7 425,-9 536,;(2)4,-52,2,-74,;(3)5,55,555,5 555,;
29、(4)1,1,57,715,931,;(5)3,3,15,21,3 3,.-39-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5解:(1)因为数列的各项是负正项交替出现的,所以用(-1)n 来调节,数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分,整数部分是 1,3,5,7,9,为奇数,分数的分子是 1,2,3,4,5,正好是序号,分母是 4,9,16,25,36,正好是平方数,这样我们可以归纳出数列的通项公式为 an=(-1)n(2-1)+(+1)2.(2)将数列前 4 项改
30、写成分数的形式:41,-52,63,-74,可得该数列的通项公式an=(-1)n+1+3.-40-2.1.1 数列 SUITANG LIANXI随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN重点难点 1 2 3 4 5(3)由于 9,99,999,9 999,的通项公式是 10n-1,所以将题中数列各项改写可得:5=599,55=5999,555=59999,5 555=599 999,可得该数列的通项公式 an=59(10n-1).(4)原数列可写成:11,33,57,715,931,得该数列的通项公式为 an=2-12-1.(5)原数列可写成 3 1,3 3,3 5,3 7,3 9,得该数列的通项公式为 an=3 (2-1).