1、2.2.4点到直线的距离学 习 任 务核 心 素 养1掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题(重点)2会求两条平行直线之间的距离(重点)1通过点到直线的距离公式的推导，培养数学逻辑推理的核心素养2借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算的核心素养如图，在铁路MN附近P地有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来那么如何设计才能使公路最短？最短是多少？现在就让我们通过本节课的学习，来解决这个问题问题1：你能用已学过的知识想办法求出P(1，2)到直线l1：2xy50的距离吗？问题2：两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，是否也可以看作是两条直线上各任
2、取一点的最短距离？知识点1点到直线的距离(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d(1)应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解例如求点P(x1，y1)到直线ykxb的距离，应先把直线方程化为kxyb0，再利用公式，得d(2)当点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系(3)当直线方程AxByC0中A0或B0时，公式也成立，还可以用下列方法求点到直线的距离：P(x1，y1)到xa的距离d|ax1|；P(x1，y1)到
3、yb的距离d|by1|1(1)原点到直线x2y50的距离是()ABC2D(2)分别过点M(1，5)，N(2，3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是_(1)D(2)3(1)由点到直线的距离公式得：d(2)d|2(1)|3知识点2两条平行直线之间的距离(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离(3)两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20之间的距离d(1)使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离(2)
4、两条平行直线间的距离，也可以转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离，即转化为点到直线的距离(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决两条直线都与x轴垂直时，l1：xx1，l2：xx2，则d|x2x1|；两条直线都与y轴垂直时，l1：yy1，l2：yy2，则d|y2y1|2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用()(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线yb(b0)的距离dy0b()(3)两直线xym与xy2n的距离为()(4)两直线x2ym与2x4y3n的距离为()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)正确(2)应是d|y
5、0b|(3)正确(4)错误将2x4y3n化为x2yn，因此距离为3两条平行线l1：3x4y70和l2：3x4y20间的距离为_1d1 类型1点到直线的距离【例1】求过点M(2，1)且与A(1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程解当直线的斜率不存在时，直线为x2，它到A，B两点的距离不相等，故可设直线方程为y1k(x2)，即kxy2k10由，解得k0或k故所求直线方程为y1或x2y0点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线xa或yb，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公
6、式，也可以直接写成d|x0a|或d|y0b|(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可跟进训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3，1)的距离为的直线的方程解当直线过原点时，设直线的方程为ykx，即kxy0由题意知，解得k1或k所求直线的方程为xy0或x7y0当直线不经过原点时，设所求直线的方程为1，即xya0由题意知，解得a2或a6所求直线的方程为xy20或xy60综上所述，所求直线的方程为xy0或x7y0或xy20或xy60 类型2两条平行线间的距离【例2】(对接教材人教B版P94例2)已知直线l1：2x7y80，l2：6x21y210，l1与l2是
7、否平行？若平行，求l1与l2间的距离解l1的斜率为k1，l2的斜率k2因为k1k2，且l1与l2不重合，所以l1l2l2的方程可化为2x7y70，所以l1与l2间的距离为d求两平行线间的距离的方法跟进训练2求与直线l：5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程解法一：设所求直线的方程为5x12ym0，两直线的距离为2，2，m32或m20所求直线的方程为5x12y320或5x12y200法二：设所求直线的方程为5x12yC0在直线5x12y60上取一点P0，点P0到直线5x12yC0的距离为d，由题意得2，则C32或C20所求直线的方程为5x12y320或5x12y200 类型3距离公式的综
8、合应用【例3】(1)已知点A的坐标为(4，4)，直线l的方程为3xy20，则直线l关于点A的对称直线l的方程为_(2)已知直线l1：xy30，直线l：xy10若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为_1已知点A不在直线l上，问直线l关于点A的对称直线l与l是什么位置关系？提示平行2若直线l1直线l，直线l1关于直线l的对称直线为直线l2，则l1与l2是什么位置关系？提示平行(1)3xy180(2)xy50(1)法一：由题意可知ll，设直线l的方程为3xyC0(C2)，则l与l之间的距离等于点A到直线l的距离的2倍，即2，解得C22或C18结合图形(图略)可知C22不满足题意，舍
9、去，故所求直线l的方程为3xy180法二：由题意可知ll，设直线l的方程为3xyC0(C2)，则，解得C18或C2(舍去)，故所求直线l的方程为3xy180(2)由题意得l1ll2设直线l2的方程为xym0(m3，m1)因为直线l1，l2关于直线l对称，所以直线l1与直线l之间的距离等于直线l2与直线l之间的距离由两平行直线间的距离公式，得，解得m5或m3(舍去)，故直线l2的方程为xy501(变结论)例(1)条件不变，则点A关于直线l的对称点坐标为_(2，6)设点A关于直线l的对称点坐标为(x，y)，则解得故点A关于直线l的对称点坐标为(2，6)2(变条件)将例(2)条件中直线l的方程改为l
10、：2xy0，其他条件不变，则直线l2的方程为_7xy150由得直线l2过点(3，6)在直线l1上再取点(0，3)，设其关于l的对称点坐标为(x，y)，则解得直线l2过点，直线l2的方程为，即7xy150一般将“关于直线对称的两条直线的问题”转化为“关于直线对称的两点的问题”加以解决.(1)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离进行求解.(2)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程.跟进训练
11、3求直线l1：2xy40关于直线l：3x4y10对称的直线l2的方程解法一：解方程组得所以直线l1与l相交，且交点坐标为(3，2)，故交点也在直线l2上在直线l1：2xy40上取点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，于是有解得即B故由两点式得直线l2的方程为2x11y160法二：设直线l2上的任一点P(x，y)关于直线l：3x4y10的对称点为Q(x0，y0)，则有解得因为点Q(x0，y0)在直线l1：2xy40上，所以240，化简得2x11y160即直线l2的方程为2x11y1601点(5，3)到直线x20的距离等于()A7B5C3D2A直线x20，即x2为平行于y轴的
12、直线，所以点(5，3)到x2的距离d5(2)72两条平行线l1：3x4y20，l2：9x12y100间的距离等于()ABCDCl1的方程可化为9x12y60，由平行线间的距离公式得d3已知直线l：kxy20过定点M，点P(x，y)在直线2xy10上，则|MP|的最小值是()ABCD3B由直线l：kxy20过定点M，得M(0，2)点P(x，y)在直线2xy10上，|MP|的最小值为点M到直线2xy10的距离d，d，故选B4两平行直线3x4y50与6xay300间的距离为d，则ad_10由两直线平行知，a8，d2，ad105已知两点A(3，2)和B(1，4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为_
13、或6由题意知直线mxy30与AB平行或过AB的中点，则有m或m30，m或m6回顾本节知识，自我完成以下问题：1怎样利用距离公式解决距离问题？提示(1)应用点P(x0，y0)到直线AxByC0(A，B不同时为零)的距离公式d的前提是直线方程为一般式特别地，当直线方程中A0或B0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解(2)两条平行线间的距离处理方法有两种：一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想二是直接套用公式d，其中l1：AxByC10，l2：AxByC20，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别对应相同2试总结利用距离公式解决的常见题型提示(1)最值问题利用对称转化为两点之间的距离问题利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值(2)求参数问题利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值(3)求方程的问题立足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解
