1、兰州市2014高三第一次诊断考试数学（理科）试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。 第卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合，则（ ）ABC D2. 是虚数单位,复数= （ ）A BCD 3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ） A B C
2、 D4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A B C D5.设,则（）AcbaBacb C. cabDbca6. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若；若； 如果相交；若其中正确的命题是 （ ） ABCD7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种. A.150 B.300 C.600 D.9008已知双曲线 的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D9.下列五个命题中正确命题的个数是(
3、)（1）对于命题，则，均有；（2）是直线与直线互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为1.23x0.08(4)若实数，则满足的概率为.(5) 曲线与所围成图形的面积是 A.2 B.3 C.4 D.510. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S为()(A)3 (B) (C) (D)2 (第10题图) （第11题图）11.如图，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标，记矩形的周长为，则 （ ）A208 B.216 C.212 D.22012. 设的定义域为，若满足下面两个条件则称为闭函数：是上单调函数；存在，使在上
4、值域为. 现已知为闭函数，则的取值范围是（ ）A B C D第卷 （90分） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在的展开式中的常数项为 .14已知x，y满足约束条件的最小值是 15如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 。16.数列的首项为1，数列为等比数列且，若，则 。三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）已知的三内角、所对的边分别是，向量(cosB，cosC)，(2a+c，b)，且.（1）求角的大小；（2）若，
5、求的范围 ABCA7205B9186C418.（本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设、分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B等级的共有20+18+4=42人.已知与均为B等级的概率为0.18.（1）求抽取的学生人数；（2）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3， 求的值；（3）物理成绩为C等级的学生中，已知, 随机变量，求的分布列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，是的中点。（1）求证：平面平面（2）若二面角的余弦值为，求直
6、线与平面所成角的正弦值20（本小题满分l2分）设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且（1）试求椭圆的方程；（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、四点（如图所示） 试求四边形面积的最大值和最小值21（本小题满分12分）已知函数，其中的函数图象在点处的切线平行于轴（）确定与的关系；（II）若，试讨论函数的单调性； （）设斜率为的直线与函数的图象交于两点（）证明：四、选做题：22.（本题满分10分）选修41：几何证明选讲OABDCEM如图，是直角三角形，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.（1）求证：、四点共圆；（2）求证：23.（本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在
7、直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标。24 （本小题满分10分）选修45：不等式选讲 （1）已知、都是正实数，求证：；（2）若不等式对满足的一切正实数 恒成立，求实数的取值范围.试卷答案（仅供参考）一、选择：123456789101112BABDCDCCACBA二、填空题13.10 14. 15.y2=3x 16.1024来三、解答题：17.解： m(cosB，cosC)，n(2a+c，
8、b)，且mn.cosB(2a+c)+ b cosC=0。2分cosB(2sinA+sinC)+ sinB cosC=02cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0即2cosBsinA=sin（B+C）=sinA。4分cosB=120B180B=120.。6分（2）由余弦定理，得 当且仅当时，取等号.。10分 。 11分又 。12分 18.解：（）依题意，得 .（2分）（）由，得.， .（6分）（）由题意，知，且，满足条件的有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组.，的取值为1,3,5,7.，.故的分布列为135
9、7P .（12分）19（）法一：几何方法证明：勾股定理ACBC，由已知得ACPC，证出AC平面PCB，得证.法二：建坐标系，用向量证.6分（）直线PA与平面EAC所成角的正弦值.12分20（本题12分）解：（1）由题意， 为的中点 即：椭圆方程为 (分) （2）当直线与轴垂直时，此时，四边形的面积同理当与轴垂直时，也有四边形的面积 当直线，均与轴不垂直时，设:，代入消去得： 设所以，所以，同理 9分所以四边形的面积令因为当，且S是以u为自变量的增函数，所以综上可知，故四边形面积的最大值为4，最小值为12分21。解：（1）依题意得，则由函数的图象在点处的切线平行于轴得： .。3分（2）由（1）得
10、函数的定义域为 当时，由得，由得，即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减； 当时，令得或，若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减； 若，即时，由得或，由得，即函数在，上单调递增，在单调递减； 若，即时，在上恒有，即函数在上单调递增， 综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增。8分（3）依题意得，证，即证因，即证 令（），即证（）令（）则在（1，+）上单调递增，=0，即（）。令u(x)=lnt t +1u(x)=1/t-1=(1-t)/t又t1u(t)在（1，+）单调递减u（t）u(1)=0lntt-1 。 综得（），即 。12分四、选做题22.证明：（1）连接、，则 又是BC的中点，所以 又， 所以.。3分 所以 所以、四点共圆 。5分 （2）延长交圆于点 因为.。7分所以所以 。10分23.（1）曲线C：，直线：。5分（2） P（） 。10分24.（1）证明：由。3分又、都是正实数，所以、，即所以。5分（2）根据柯西不等式有3分又恒成立，或，即或，所以的取值范围是 5分
