1、不等式、推理与证明1已知0c1，ab1，下列不等式成立的是（）AcacbBacbcCaa-cbb-cDlogaclogbc【答案】D【解答】：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由于0c1，则函数y=cx是减函数，又由ab1，则有cacb，故A错误；对于B、构造函数y=xc，由于0c1，则函数y=xc是增函数，又由ab1，则有acbc，故B错误；对于C、aa-cbb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)，又由0c1，ab1，则（ac）0、（bc）0、（ba）0，进而有aa-cbb-c0，故有aa-cbb-c，故C错误；对于D、logac
2、logbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb），又由0c1，ab1，则有lgc0，lgalgb0，则有logaclogbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb）0，即有logaclogbc，故D正确；故选：D2若实数a、b、c同时满足：a2b2；1+aca+c；logbac则a、b、c的大小关系是（）AbacBcbaCcabDabc【答案】D【解答】：实数a、b、c同时满足：a2b2；1+aca+c；logbac由可得：a，b0，b1，又由可得ab0由可得：（a1）（c1）0，则&a1&c1或&a1&c1由&a1&c1，及其可得，若ab1，
3、则logba1，由c1，可得abc；若0b1，则logba0，c0，可得abc；由&a1&c1，及其可得logba1，可得ab1，与ab矛盾，综上可得abc，故选：D两个实数比较大小的方法（1）作差法，其步骤为：作差变形定号（确定正负号，即判断差与0的大小）得出结论含根号的式子作差时一般先乘方再作差（2）作商法，其步骤为：作商变形判断商与1的大小得出结论（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论3若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是（）Aac2bc2B1a1bCbaabDa2abb2【答案】D【解答】解
4、：选项A，c为实数，取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，1a-1b=b-aab，ab0，ba0，ab0，b-aab0，即1a1b，故选项B不成立；选项C，ab0，取a=2，b=1，则ba=-1-2=12，ab=2，此时baab，故选项C不成立；选项D，ab0，a2ab=a（ab）0，a2ababb2=b（ab）0，abb2故选项D正确，故选：D4.已知ab0，cd0，则下列不等式成立的是（）AadbcBadbcCadbcDadbc【答案】A【解答】解：ab0，cd0，adbc，adbc，故选：A【名师点睛】本题主要考查不等式的基本性质，意在考查对基础知
5、识的掌握情况，属于基础题.不等式的性质1（1）ab，ab0；（2）a0bb0，dc02若ab0，m0，则（1）（bm0）；（2）；0）5已知集合A=x|(x-1)(x-4)0，B=x|x-5x-20，则AB=Ax|1x2Bx|1x2Cx|2x4Dx|2b的解：（1）当a0时，x（2）当a0时，x（3）当a=0时，若b0，则无解；若b0=00）的图象ax2+bx+c=0（a0）的根有两个相异的实数根x1，x2（x10（a0）的解集x|xx2x|xRax2+bx+c0）的解集x|x1x0f（x）g（x）0；（2）0f（x）g（x）0；（3）0（4）04高次不等式的解法（穿针引线法）：设，解不等式（
6、或）时，将方程的根从小到大依次标到数轴上，作为针眼用一根线，从数轴的右上方开始穿针引线，每见到一个针眼，便穿过数轴一次，直到穿过全部针眼数轴上方的部分为正，即为不等式的解；数轴下方的部分为负，即为不等式的解注意：（1）要求的最高次项系数为正；（即：每一个的系数为正，且，若，则不等式两边同时乘以，并改变不等号的方向）（2）二重根时，按两个针眼对待，即穿过数轴两次；（奇过偶不过）（3），；，；（或）；（4），当时，的符号是确定的；（5）永远从数轴右上方开始；（6）最后结果数轴上方的部分为不等式的解，数轴下方的部分为不等式的解；（7）不等式右边须为0，否则先移项，使右边为0；（8）穿针引线法可以用于
7、解高次不等式，也可以用于解一次、二次不等式，或可以转化为高次不等式的分式不等式等6设变量x，y满足约束条件：&yx&x+2y2&x-2，则z=x3y+2的最小值为（）A2B4C6D8【答案】C【解答】：设变量x、y满足约束条件：&yx&x+2y2&x-2，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线x3y=0经过点A（2，2）时，z=x3y+2最小，最小值为：6，则目标函数z=x3y+2的最小值为6故选：C线性规划的目标函数主要有三种形式：（1）截距式：，主要根据目标函数对应的直线的纵截距判断最值；（2）斜率式：，主要根据可行域内的点与定点的连线的斜率判断最值；（3）距离式：，主要根据可行域内的点与定
8、点的距离的平方判断最值7已知函数，当时，取得最小值，则等于A9B7C5D3【答案】B【解答】：，当且仅当，即时取等号，取得最小值，此时，故选：B【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.均值不等式：，（，），当且仅当时等号成立使用均值不等式，注意一正二定三相等的条件；求最值时，要注明等号成立条件8已知2+23=223，3+38=338，4+415=4415，若6+at=6at，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=A35B40C41D42【答案】C【解析】由已知归纳总结，可知规律为：当n2且nN*时，n+nn
9、-1n+1=nnn-1n+1，6+657=6635，a=6，t=35，a+t=41.故选C.【名师点睛】本题考查归纳推理问题，关键是观察出数字与式子之间的规律，属于基础题.9设函数f（x）=12x+2，类比课本推导等差数列的前n项和公式的推导方法计算f（5）+f（4）+f（3）+f（0）+f（1）+f（5）+f（6）的值为（）A322B522C32D22【答案】C【解答】：f（x）=12x+2f（x）+f（1x）=12x+2+121-x+2=12x+2+2x2+22x=2x+22(2x+2)=22，即 f（5）+f（6）=22，f（4）+f（5）=22，f（3）+f（4）=22，f（2）+f（
10、3）=22，f（1）+f（2）=22，f（0）+f（1）=22，所求的式子值为3 2故选：C归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体，由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步骤（1）通过观察个别对象发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）（1）找出两类对象之间的相似性或一致性；（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，得出一个明确的命题（猜想）1已知首项与公比
11、相等的等比数列an中，若m，nN*，满足ama=a，则的最小值为A1BC2D【答案】A【解析】根据题意，设数列an的首项和公比均为q（q0），则由得：qm+2n=q8，m+2n=8，又m，nN*，当，即m=2n=4时取“=”，的最小值为1故选A数列与不等式的交汇问题解决此类问题要熟记数列的公式，结合均值不等式，要注意均值不等式成立的条件：一正二定三相等2当时，8xlogax，则a的取值范围是ABCD（）【答案】B【解析】，8x（1，2，又当时，8xlogax，当时，2logax，恒成立，a故选B不等式恒成立问题，与函数的知识点交汇，可以借助图象，数形结合解决问题3已知数列an满足：a1=32，
12、且an=3nan-12an-1+n-1（n2，nN*）证明：1nan为一个等比数列，求数列an的通项公式【解答】证：an=3nan-12an-1+n-1，两边取倒数得，1an=2an-1+n-13nan-1，两边乘以n，并裂项得，nan=23+13n-1an-1，两边减1得，nan1=13+13n-1an-1=13（n-1an-11），因此，1nan=131n-1an-1，故数列1nan是以11a1为首项，以13为公比的等比数列，所以，1nan=（11a1）(13)n-1，其中a1=32，解得，an=n3n3n-11直接证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推
13、理论证，最后推导出所要证明的结论成立（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止2间接证明反证法（1）定义假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法（2）适用范围否定性命题；命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语4ABC的三边长分别为a,b,c，ABC的面积为S，则ABC的内切圆半径为r=2Sa+b+c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,
14、S3,S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r=AVS1+S2+S3+S4B2VS1+S2+S3+S4C3VS1+S2+S3+S4D4VS1+S2+S3+S4【答案】C【解析】设四面体SABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为：V=13（S1+S2+S3+S4）r，r=3VS1+S2+S3+S4故选：C【名师点睛】本题考查四面体的内切球半径的求法及三棱锥体积公式的应用，考查推理论证能力，是基础题5有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其
15、中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”乙说：“甲、丙都未获奖”丙说：“我获奖了”丁说：“是乙获奖”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A甲B乙C丙D丁【答案】C【解答】：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意故获奖的歌手是丙故选：C1运用归纳推理的思维步骤：发现共性，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结
16、论型创新题的基本技巧2类比推理应用的题型及相应方法（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助定义（2）类比性质：对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程（3）类比方法：一些处理问题的方法类似，可以把这种方法类比应用到其他问题中，注意知识的迁移求解类比推理题的关键：会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个命题（猜想）1.不等式2-xx+11B.x|-1x2C.xx12D.x-1x0的解集为x|-2x1,则a,b的值为
17、()A.a=-1,b=-2B.a=-2,b=-1C.a=b=-12D.a=1,b=23已知，且，则的最大值为ABC1D4已知正数，满足，则的最小值是A9B10C11D125已知，则的最小值是A4BC5D96函数的最小值为A2B3CD2.57已知，则取最大值时的值为ABCD8设x，y满足约束条件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80，则z=|x+3y|的最大值为（）A15B13C3D29设x，y满足约束条件&2x-y0&x+13y1&y0，若z=ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A2或3 B3或2C13或12 D13或210设x，y满足约束条件&x-2y-2&3x-2y
18、3&x+y1，若x2+4y2m恒成立，则实数m的最大值为（）A12B34C45D5611.已知不等式组&y-x+2&ykx+1&y0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k的值为（）A1B2C1或2D-2912.若实数x，y满足&x-y-10&x+2y+20&x-2，则z=y-3x-2的取值范围是（）A34，+) B32，+)C34，2 D32，213.已知变量x、y满足约束条件&x+y-30&x-2y+30&x3，则yx+112的概率是（）A25B35C59D4914若x，y满足&x0&x+y3&y2x+1，表示的平面区域为，直线y=kxk与区域有公共点，则实数k的取值范围为（）A1
19、，+）B（，71，+）C7，1D（，715.若ba0，则下列不等式：|a|b|；a+bab；ab+ba2；a2b2ab中正确的不等式有（）个A1个B2个 C3个 D4个16.已知0ab1，则ab,logba,log1ab的大小关系是Alog1abablogbaBlog1ablogbaabClogbalog1ababDablog1ab（）3（x1）的解集为_25.设函数f（x）=&ex-1，x1&x13，x1，则使得f（x）2成立的x的取值范围是26.若实数x，y满足&2x-y0&yx&y-x+b且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为27.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A
20、BC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为28.已知，则函数的最小值为1.C【解答】:原不等式等价于2-xx+1-101-2xx+10(x+1)(1-2x)0,解得x12.故选：C2.C【解答】:由题知a0且-2,1为方程ax2+bx+1=0的两根,由根与系数的关系可求得a=b=-12.故选：C3.A【解答】：，且，则，当且仅当且即，时取得最大值故选：4.A【解答】：正数，满足，当且仅当时取等号，的最小值为9故选：A5.B【解答】：，当且仅当，即，时取等号，故选：B6.D【解答】：令，则在，上单调递增，即，函数的最小值为2.5，故选：D7.A【解答】：，则，当且
21、仅当即时取最大值故选：A8.A【解答】：由约束条件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80作出可行域如图，联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得A（3，4），由图可知，z=|x+3y|=x+3y，化为y=x3+z3当直线y=x3+z3过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15故选：A9.A【解答】：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2
22、xy=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=3，综上a=3或a=2，故选：A10.C【解答】：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2m等价为a2+b2m，则约束条件等价为&a-b-2&3a-b3&2a+b2，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2a+b=2的距离最小，此时原点到直线的距离d=|2|22+1=25，则z=d2=45，即m45，即实数m的最大值为45，故选：C11.A【解答】：不等式组&y-x+
23、2&ykx+1&y0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），y=kx+1，与x轴的交点为（1k，0），y=kx+1与y=x+2的交点为（1k+1，2k+1k+1），三角形的面积为：12（2+1k）2k+1k+1=94，解得：k=1故选：A12.C【解答】：作出实数x，y满足&x-y-10&x+2y+20&x-2的可行域如图阴影部分所示：目标函数z=y-3x-2可以认为是D（2，3）与可行域内一点（x，y）连线的斜率当连线过点A时，其最小值为：0-3-2-2=34，连线经过B时，最大值为：-1-30-2=2，则z=y-3x-2的取值范围是：34，2.故选：C
24、13.C【解答】：由约束条件&x+y-30&x-2y+30&x3画出可行域如图，则yx+112的几何意义是可行域内的点与Q（1，0）连线的斜率超过12，由图形可知：直线x=3与直线x2y+1=0的交点为：（3，2），直线x2y+3=0与x=3的交点（3，3），则yx+112的概率：AB2AC2=49，则yx+112的概率是：149=59故选：C14.C【解答】：作出x，y满足&x0&x+y3&y2x+1对应的平面区域如图：y=k（x1）过定点P（1，0），由&y=2x+1&x+y=3交点A（23，73），由图象可知当直线经过点A（23，73），时，直线的斜率最小，此时k=73-023-1=7，
25、由&x=0&y=2x+1解得B（0，1）当直线经过点B时，直线的斜率最大，此时k=1，k的取值范围是：7，1故选：C15.B【解答】：ba0，|a|b|，故错误；a+b0，ab0，则a+bab，故错误；ba0，ab0，ba0，则ab+ba2abba=2，当且仅当ab=ba，即a=b时，取等号，ba，等号不成立，故ab+ba2，故正确，若a2b2ab成立，则等价为a22abb2，即a22ab+b20，即（ab）20，ba0，（ab）20成立，故正确，故正确的命题是，故选：B16A【解析】由题意，可知0ablogbb=1,1ab0,log1ab0，所以log1abab（）3（x1）化为2233x，
26、即x24x333x，x2x60，解得x3，原不等式的解集为（，2）（3，+）故答案为：（，2）（3，+）25.x8【解答】：x1时，ex12，xln2+1，x1；x1时，x132，x8，1x8，综上，使得f（x）2成立的x的取值范围是x8故答案为：x826.94【解答】：由约束条件作出可行域（如图），当平行直线系y=2x+z经过可行域内的点A（b3，2b3）时，z取得最小值，即2b3+2b3=3，解之得b=94故答案为：9427.9【解答】：由题意得12acsin120=12asin60+12csin60，即ac=a+c，得1a+1c=1，得4a+c=（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac+52ca4ac+5=4+5=9，当且仅当ca=4ac，即c=2a时，取等号，故答案为：928.【解答】：，当且仅当，即时取得最小值故答案为：
