1、第二章 解析几何初步章末总结归纳 求直线的方程主要采用待定系数法，即先根据已知条件设出直线方程，再确定所设方程中参数的值，得到直线的方程除一般式外，选择其它四种形式时应注意每种形式的限定条件，要考虑不能用这四种形式表示的直线能否满足题意，以免丢解 直线 l 过点 P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线 l 的方程【解】解法一：直线 l 与两坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，只需直线 l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线 l 的方程为xaya1 或xa ya1(a0)当直线 l 的方程为xaya1 时，把 P(8,6)代入得8a6a1，a14，所以直线 l 的方程
2、为 xy140；当直线 l 的方程为xa ya1 时，点 P(8,6)在 l 上，所以8a6a1，a2，所以直线 l 的方程为 xy20.综上所述，直线 l 的方程为 xy20 或 xy140.解法二：设所求直线 l 的方程为 ykxb(k0，b0)，令 x0，yb，令 y0，xbk，所以|b|bk.因为 b0，所以 k1.当 k1 时，直线 l 的方程式为 yxb，点 P(8,6)在直线 l上，所以 68b，b2，所以 l 的方程为 yx2，即 xy20；当 k1 时，直线 l 的方程为 yxb，把点 P(8,6)代入得b14，所以直线 l 的方程为 xy140.综上所述，所求的直线 l 的
3、方程为 xy140 或 xy20.设两直线方程分别为 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2.当 k1k2且 b1b2 时，两直线平行，反之也成立当 k1k21 时，两直线垂直，反之也成立直线斜率不存在时应单独考虑两直线位置关系 已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值(1)l1l2 且 l1 过点(3，1)；(2)l1l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等【解】(1)由已知可得 l2 的斜率必存在，且 k21a.若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又l1 过(3，1)，3ab40，即 b3a
4、4(不合题意)此种情况不存在，即 k20.若 k20，即 k1、k2 都存在，k1ab，k21a，l1l2，k1k21，即ab(1a)1.又l1 过点(3，1)，3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)l2 的斜率存在，l1l2，直线 l1 的斜率存在，k1k2，即ab1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2，l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4bb.由联立解得a2，b2 或a23，b2，a、b 的值分别为 2 和2 或23和 2.圆的方程有两种形式(xa)2(yb)2r2，x2y2DxEyF0，分别含有三个独立参数求圆的方程主要用待定系数法利用已知条件得到关于 a、b、
5、r 或 D、E、F 的方程组求解若题目中已知条件涉及圆的几何性质时，尽量利用圆的几何性质求a、b、r，得到圆的方程 已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(4,1)，B(6，3)，C(3,0)，求ABC 外接圆的方程【解】解法一：设所求圆的方程是(xa)2(yb)2r2.由题意可得 A、B、C 都在圆上，于是4a21b2r2，6a23b2r2，3a20b2r2，解得a1，b3，r225.ABC 外接圆的方程是(x1)2(y3)225.解法二：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，由题意可得 A、B、C 都在圆上，于是42124DEF0，62326D3EF0，32023D0EF0，解得D2，E6，F
6、15.ABC 外接圆方程是 x2y22x6y150.解法三：因为ABC 外接圆的圆心既在 AB 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上，所以先求 AB、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标kAB3164 2，kBC0336 13，线段 AB 的中点为(5，1)，线段 BC 的中点为32，32，AB 的垂直平分线方程为 y112(x5)，BC 的垂直平分线方程 y323x32.解由联立的方程组可得x1，y3.圆心坐标 E(1，3)，r|AE|4121325.ABC 外接圆方程是(x1)2(y3)225.直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其判断方法有两种：代数法、几何法
7、直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为 dr，最小距离为 dr，其中 d 为圆心到直线的距离当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成勾股数当直线与圆相切时，经常涉及到求圆的切线，应注意判断切线所过定点是否为切点，还要注意切线斜率不存在时也可能符合题意 已知圆 x2y2x6ym0 与直线 x2y30 相交于 P、Q 两点，O 为原点，且 OPOQ，求实数 m 的值【解】设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 OPOQ得：kOPkOQ1，即 y1x1y2x21，即x1x2y1y20.另外(x1，y1)，(x2，y2)是方程组x2y30，x2y2x6ym0 的实数解，即 x1，x
8、2 是方程 5x210 x4m270 的两根，x1x22，x1x24m275，又 P、Q 在直线 x2y30 上，y1y21493(x1x2)x1x2m125.代入式得 m3，经验证满足 0，m3.1已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是()A2 B4C6 D8解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)22a，圆心(1,1)到直线 xy20 的距离 d|112|1212 2.则422(2)22a，解得 a4.答案：B2(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围
9、是()A2,6 B4,8C 2，3 2 D2 2，3 2解析：直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，A(2,0)，B(0，2)，则|AB|2 2，点 P 在圆(x2)2y22 上，圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离 d1|202|22 2，故点 P 到直线 xy20 的距离 d2 的范围为 2，3 2，则 SABP12|AB|d2 2d22,6，故选 A.答案：A3在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为()A.45 B34C(62 5)D54解析：当 OC 与直线垂直时，
10、圆 C 面积最小，此时，d|4|2212 452r，r 25，Sr225245.答案：A4如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|2.(1)圆 C 的标准方程为_；(2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为_解析：(1)设圆心 C(1，r)(r 为圆 C 的半径)，则 r2|AB|22122，r 2.圆 C 的标准方程为(x1)2(y 2)22.(2)令 x0，得 y 21，点 B(0，21)，又 C(1，2)，直线 BC 的斜率为 kBC1.过点 B 的切线方程为 y(21)1(x0)，即 yx 21.令 y0，得切线在 x 轴上的截距为1 2.答案：(1)(x1)2(y 2)22(2)1 25直线 l1：yxa 和 l2：yxb 将单位圆 C：x2y21分成长度相等的四段弧，则 a2b2_.解析：当 l1 与 l2 分别位于如图所示位置时，可将单位圆分成长度相等的四段弧，此时 a2b212(1)22.答案：2