1、20172018学年度第一学期北京育才学校高二数学（理科）期中考试试卷一、选择题（每小题5分，8道题，共40分）1抛物线的焦点坐标为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：抛物线焦点在轴上，坐标为故选2圆与直线相切于点，则直线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：圆，圆心，半径，圆心与切点的距离半径，解出：，圆心与切点连线的斜率，直线斜率，且直线过点， ，整理得故选3若双曲线的离心率是，则实数（ ）ABCD【答案】A【解析】解：双曲线，故选4“”是“”的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：设集合，集合或，是的充分不必要条件故选5长方
2、体一个顶点上三条棱的长分别是、，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：设球的半径为，球的表面积故选6一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积及体积为（ ）A，B，C，D以上都不正确【答案】A【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，表面积体积故选 7下列说法不正确的是（ ）A，B，C夹在平行平面间的平行线段相等D若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行【答案】D【解析】解：错误，平面外的一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线可能平形于这个平面，也可能与此平面相交故选8为过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则面积
3、的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】解：面积为与面积之和，设到轴的距离为，过椭圆中心的弦，则到轴的距离为，且，最大值为，故选 二、填空题（每小题5分，6道题，共30分）9命题“，”的否定是_【答案】，【解析】解：全称命题的否定将“”改为“”10已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则最小值为_；此时点的坐标为_【答案】；【解析】解：由抛物线定义，到到焦点的距离等于它到准线的距离，设点到准线的距离为，则所求的最小值，即为的最小值，当、三点共线时，最小，最小值为到准线的距离此时最小值为，的纵坐标为，代入抛物线中，解出的横坐标为，得11中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线
4、经过点，则它的离心率为_【答案】【解析】解：设双曲线为，则渐近线为，代入，12如图，一个空间几何体的主视图，左视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为_；体积为_【答案】；【解析】解：几何体由两个相同的正四棱锥组成，正视图，侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，菱形的边长为，且正四棱锥的底面边长为，侧面底边长为，斜高为，侧棱长为，几何体的表面积为，体积13下列说法中正确的是_一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；“”是“”的充要条件；“，则，全为” 的逆否命题是“若，全不为，则”一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真；“为假命题”是“为真命题”的充
5、分不必要条件【答案】【解析】解：逆命题与否命题真假性相同，但无法判断其逆否命题真假，错误由“”可推出，“”，“”也可推出，“”，正确原命题的逆否命题为“若、不全为，则”，错误否命题与逆命题真假性相同，正确“”为假命题，那么为真命题，可推出，反之不成立，正确14下列命题正确的是_两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行【答案】【解析】解：正确错，可能两个平面相交错，当一条直线与平
6、面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行错，两直线可能相交错，只能作出一个符合要求的平面三、解答题（6道题，共80分）15（分）已知命题，（）分别写出真、真时不等式的解集（）若是的充分不必要条件，求的取值范围【答案】（）真时，解集为真时，解集为（）【解析】（）真时：真时：或（）由题知，为真时，或，解出16（分）正三棱柱中，是上一点，若（）若底面边长为，侧棱长为，求该正三棱柱的表面积、体积（）求证：平面【答案】（），（）略【解析】（）在正三棱柱中，为等边三角形，正三棱柱面积，体积（）证明：连接，交于点，连接，在中，分别为，中点，平面，平面，平面17（分）已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与
7、圆相切（）求圆的标准方程（）求直线与圆相交的弦长【答案】（）（）【解析】解：（）设圆，圆心到直线的距离，圆心在轴正半轴上，代入解出或（舍），圆为（）圆心到直线距离，弦长18（分）四棱锥中底面是平行四边形，是中点，过的平面与交于（） 求证：平面（）求证：是中点【答案】见解析【解析】解：证明：在平行四边形中，平面，平面，平面（）证明：设平面平面直线，则，在平行四边形中，又是中点，是中点19（分）一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为米，拱顶距离水面米（）建立如图所示的平面直角坐标系，试求拱桥所在抛物线的方程（）若一竹排上有一米宽米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？【答案】（）（）可以安全通过【解析】解（）在中，抛物线过点，开口向下，过，设抛物线为代入点，解出，抛物线为，即（）当时，木排可安全通过此桥20（分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，且过点（）求椭圆的标准方程（）、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，且这条直线互相垂直，求证：为定值【答案】（）（）见解析【解析】解：（）已知，椭圆为，代入，解出，椭圆为（）椭圆的焦点坐标为，设直线，直线与互相垂直，直线，设，同理，为定值