1、天津市红桥区2016年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，设复数z1=1+2i，z2=3i，则z1z1=（）A63iB2iC63iD6+3i2班集体搞某项活动，将全班同学分成3个不同的小组，每位同学被分到每个小组的可能性相同，则甲、乙两位同学被分到同一个小组的概率为（）ABCD3若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A2B3C4D54已知a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）AabcBbacCacbDcba5已知函数y=2sin（2x+）（|）图象经过点（0，），则该函数图象的一条对
2、称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=6过双曲线（a0，b0）的一个焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与y轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（）ABC2D7已知函数f（x）=a|x|3a1，若命题x01，1，使f（x0）=0是真命题，则实数a的取值范围为（）A（，B（，（0，+）C，D（，），0）8如图，以ABC的BC边为直径的半圆交AB于点D，交AC于点E，EFBC于F，BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，则AD长为（）ABCD二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9已知集合A=1，1，3，B=y|y=x2，xA，则AB=10某中学举行了一次“环保知识竞赛”活
3、动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据已知得分在50，60）的有8人，在90，100的有2人，由此推测频率分布直方图中的x=11已知圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0当直线l与C相切时，实数a=12已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a有三个零点，则实数a的取值范围是13如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视
4、图为圆，若已知该几何体的表面积为16，则x=14如图，在ABC中，已知，AB=2，AC=4，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E是AD上一点，满足=2，则BE=三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）（2016红桥区一模）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且ac，b=，求cos（2A+B）16（13分）（2016红桥区一模）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成A，B，C三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：A规格B规格C规格
5、第一种钢板211第二种钢板131第一种钢板面积为1m2，第二种钢板面积为2m2，今分别需要A规格小钢板15块，B规格小钢板27块，C规格小钢板13块（1）设需裁第一种钢板x张，第二种钢板y张，用x，y列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（2）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？17（13分）（2016红桥区一模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列（nN*），且a1=1，b1=3，已知a2+b3=30，a3+b2=14（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=（an+1）bn，Tn=c1+c2+cn，（nN*），求证
6、：Tn=（anbn+1）18（13分）（2016红桥区一模）如图，在三棱锥PABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA平面ABC，ABBC，且AB=BC（1）求证：平面BED平面PAC；（2）求二面角FDEB的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值19（14分）（2016红桥区一模）已知椭圆C：（ab0）的离心率，左顶点A与右焦点F的距离（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，P（2，1）为定点，当MNP的面积最大时，求l的方程20（14分）（2016红桥区一模）设函数f（x）=ax2lnx（aR）（1）若
7、f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为，求a的值；（2）当a0时，求f（x）的单调区间；（3）若g（x）=axex，求证：在x0时，f（x）g（x）2016年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1i是虚数单位，设复数z1=1+2i，z2=3i，则z1z1=（）A63iB2iC63iD6+3i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用是的乘法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z1=1+2i，z2=3i，则z1z1=（1+2i）（3i）=63i故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力2班
8、集体搞某项活动，将全班同学分成3个不同的小组，每位同学被分到每个小组的可能性相同，则甲、乙两位同学被分到同一个小组的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是33=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式能求出结果【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是33=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=故选：A【点评】本题考查概率的求法，是基础题，使用列举法、“树图法”、“坐标法”等，确定得到试验发生包含的事件数和满足条
9、件的事件数3若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论【解答】解：模拟执行程序，可得n=13，k=0，满足条件n为奇数，n=6，k=1，不满足条件n=1，不满足条件n为奇数，n=3，k=2，不满足条件n=1，满足条件n为奇数，n=1，k=3，满足条件n=1，退出循环，输出k的值为3故选：B【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题4已知a=（），b=（），c=log，则a，b，c的大小关系是（）AabcB
10、bacCacbDcba【考点】对数值大小的比较【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性求解【解答】解：y=在（0，+）是增函数，a=（）b=（），y=（）x是减函数，b=（）（）0=1，是减函数，c=log=1，cba故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数、指数函数、对数函数的单调性的合理运用5已知函数y=2sin（2x+）（|）图象经过点（0，），则该函数图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】正弦函数的对称性【分析】由图象过点和题意可得函数解析式，解2x+=k+可得对称轴方程，结合选项可得【解答】解：函数y=2sin（2x
11、+）图象经过点（0，），=2sin，即sin=，由|可得=，y=2sin（2x+），令2x+=k+可得x=k+，函数的对称轴方程为x=k+，kZ结合选项可得函数图象的一条对称轴方程为x=故选：C【点评】本题考查正弦函数的对称性，涉及三角函数解析式的求解，属基础题6过双曲线（a0，b0）的一个焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与y轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】设双曲线的一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的一个焦点F（c
12、，0），一条渐近线方程为y=x，垂线的延长线与y轴的交点坐标为A，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得=1，即b=2a，则c=a，即有e=故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的焦点和渐近线方程、两直线垂直的条件以及离心率公式，考查运算能力7已知函数f（x）=a|x|3a1，若命题x01，1，使f（x0）=0是真命题，则实数a的取值范围为（）A（，B（，（0，+）C，D（，），0）【考点】复合命题的真假【分析】由于函数f（x）是偶函数，因此只考虑函数f（x）=ax3a1，若命题x00，1，使f（x0）=0是真命题，即可得出可得f（0）f（1）0，解出即可得出【解答】解：
13、由于函数f（x）是偶函数，因此只考虑函数f（x）=ax3a1，若命题x00，1，使f（x0）=0是真命题，即可得出f（0）f（1）0，（3a1）（2a1）0，解得，故选：C【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8如图，以ABC的BC边为直径的半圆交AB于点D，交AC于点E，EFBC于F，BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，则AD长为（）ABCD【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接BE，由BC为直径，可得BEEC，设FC=a，可得BF=5a，运用射影定理和勾股定理，可得EF，BE，EC，由勾股定理可得a=，则EC=2，再由割线定理，
14、计算即可得到所求AD的长【解答】解：连接BE，由BC为直径，可得BEEC，设FC=a，可得BF=5a，由射影定理可得，EF2=BFFC，即有EF=a，BE=a，EC=a，在直角三角形ABE中，AB2=AE2+BE2，即有82=22+30a2，解得a=，则EC=2，由圆的割线定理，可得ADAB=AEAC，可得AD=故选：B【点评】本题考查圆的割线定理、直角三角形的勾股定理和射影定理的运用，考查推理能力和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分9已知集合A=1，1，3，B=y|y=x2，xA，则AB=1【考点】交集及其运算【分析】根据题意，求出集合B，再求AB【解答】
15、解：集合A=1，1，3，B=y|y=x2，xA=y|y=1或y=或y=9=，1，9；AB=1故答案为：1【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目10某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据已知得分在50，60）的有8人，在90，100的有2人，由此推测频率分布直方图中的x=0.03【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图中频率和为1，
16、列出方程求出x的值【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得：10（x+0.016+0.040+0.010+0.004）=1，解得x=0.03故答案为：0.03【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目11已知圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0当直线l与C相切时，实数a=【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆C的圆心C（4，0），半径r=2，圆心C（4，0）到直线l：ax+y+2a=0的距离d，由直线l与C相切，得r=d，由此能求出实数a【解答】解：圆C：x2+y28y+12=0的圆心C（4，0），半径r=2，圆心C（4，0）到直线l：ax+y+2a=
17、0的距离d=直线l与C相切，=2，解得a=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用12已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a有三个零点，则实数a的取值范围是（0，1【考点】函数零点的判定定理【分析】作出函数的图象，根据函数y=f（x）a有三个零点，即可求出实数a的取值范围【解答】解：作出函数的图象，如图所示，若函数y=f（x）a有三个零点，则实数a的取值范围是（0，1故答案为：（0，1【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键13如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为
18、等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16，则x=【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x的值【解答】解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，圆锥的高是x，则半径为=，母线长是=，则圆柱的底面半径是，高是1，该几何体的表面积为16，=16，化简得，解得x=或x=（舍去），故答案为：【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空
19、间想象能力，计算能力14如图，在ABC中，已知，AB=2，AC=4，点D为边BC上一点，满足+2=3，点E是AD上一点，满足=2，则BE=【考点】向量的线性运算性质及几何意义【分析】可作图：延长AB到F，使得AF=2AB，并连接CF，取CF的中点O，连接AO，则可以说明A，D，O三点共线，且得到AOCF，根据条件便可求出，从而可得到进一步便由得出AE=，这样在ABE中由余弦定理即可求出BE的值【解答】解：如图，延长AB到F，使AF=2AB，连接CF，则：AC=AF；取CF中点O，连接AO，则：；A，D，O三点共线；又；，且AOCF，AC=4；又；，且AB=2，；在ABE中，由余弦定理得：；故答
20、案为：【点评】考查向量加法的平行四边形法则，等腰三角形的中线也是高线，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，以及余弦定理三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）（2016红桥区一模）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且ac，b=，求cos（2A+B）【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，由B为锐角即可得解（2）由已知及余弦定理可得ac=6，联立即可解得a，c的值，由余弦定理可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求s
21、inA，进而利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，由两角和的余弦函数公式即可化简求值【解答】解：（1）在ABC中，由2bsinA=a，根据正弦定理得：2sinBsinA=sinA，sinA0（A为锐角），sinB=由B为锐角，可得B=（2）a+c=5，b=，利用余弦定理：b2=a2+c22accosB，可得：7=a2+c2ac=（a+c）23ac，解得：ac=6，由联立即可解得：，或（由ac，舍去），cosA=，sinA=，sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A1=，cos（2A+B）=cos（2A+）=cos2Asin2A=（）=【点评】此题主要考查了正弦定理，余
22、弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题16（13分）（2016红桥区一模）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成A，B，C三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板131第一种钢板面积为1m2，第二种钢板面积为2m2，今分别需要A规格小钢板15块，B规格小钢板27块，C规格小钢板13块（1）设需裁第一种钢板x张，第二种钢板y张，用x，y列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（
23、2）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？【考点】简单线性规划【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中解：设用第一种钢板x张，第二种钢板y张，则可做A种的为2x+y个，B种的为x+3y个，C种的为x+y个由题意得出约束条件及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解【解答】解：（1）设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板数为z，则有，作出可行域（如图），（2）设所用钢板的面积是zm2，目标函数为z=x+2y，y=x+z，由得M（6，7），结合图象得z的最小值是6+27=20，故在满足需求的条件下，裁第一种钢板6张，第二种钢板7张，所用钢板面积最
24、小【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件由约束条件画出可行域分析目标函数Z与直线截距之间的关系使用平移直线法求出最优解还原到现实问题中17（13分）（2016红桥区一模）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列（nN*），且a1=1，b1=3，已知a2+b3=30，a3+b2=14（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=（an+1）bn，Tn=c1+c2+cn，（nN*），求证：Tn=（anbn+1）【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由已知列式求出等差数列的公差和等比数列的公比，然后利用等差数列与等比数列的通项公式即
25、可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得Tn，再求出（anbn+1），比较得答案【解答】（1）解：设等差数列an公差为d，等比数列bn公比为qa1=1，b1=3，a2+b3=30，a3+b2=14，化为2q2q15=0，解得：q=3，d=2an=1+2（n1）=2n1，bn=3n；（2）证明：cn=（an+1）bn=2n3n，Tn=2（3+232+n3n），3Tn=232+233+（n1）3n+n3n+1，2Tn=2（3+32+3nn3n+1）=2n3n+1=（12n）3n+13，Tn=（n）3n+1+而（anbn+1）=，Tn=（anbn+1）【点评】本题考查了等差数列与
26、等比数列的通项公式及其前n项和公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题18（13分）（2016红桥区一模）如图，在三棱锥PABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA平面ABC，ABBC，且AB=BC（1）求证：平面BED平面PAC；（2）求二面角FDEB的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）通过证明BE平面PAC得出平面BED平面PAC；（2）由DEPA得出DE平面ABC，故DEEF，DEBE，于是FEB为所求二面角的平面角，根据BEF为等腰直角三角形得出二面
27、角的度数；（3）证明BC平面PAB得出CPB为所求角，利用勾股定理得出BC，PB即可得出tanCPB【解答】证明：（1）PA平面ABC，BE平面ABC，PABEAB=BC，E为AC的中点，BEAC，又PA平面PAC，AC平面PAC，PAAC=A，BE平面PAC，又BE平面BED，平面BED平面PAC（2）D，E是PC，AC的中点，DEPA，又PA平面ABC，DE平面ABC，EF平面ABC，BE平面ABC，DEEF，DEBEFEB为二面角FDEB的平面角E，F分别是AC，AB的中点，AB=AC，EF=BC=AB=BF，EFBC又ABBC，BFEF，BEF为等腰直角三角形，FEB=45二面角FDE
28、B为45（3）PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又BCAB，PA平面PAB，AB平面PAB，PAAB=A，BC平面PABCPB为直线PC与平面PAB所成的角PA=6，PE=3，又DF=5，EF=4AB=BC=8PB=10tanCPB=【点评】本题考查了线面垂直，面面垂直的判定，空间角的计算，做出空间角是解题关键，属于中档题19（14分）（2016红桥区一模）已知椭圆C：（ab0）的离心率，左顶点A与右焦点F的距离（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，P（2，1）为定点，当MNP的面积最大时，求l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由，左顶点
29、A与右焦点F的距离可得=，a+c=2+，又a2=b2+c2，解出即可得出（）过右焦点F（2，0）斜率为k的直线l：y=k（x2），代入椭圆方程可得：（1+5k2）x220k2x+20k25=0，设点M（x1，y1），N（x2，y2）利用根与系数的关系可得：|MN|=，点P（2，1）到直线l的距离d=，可得MNP的面积S=d|MN|，化简利用函数的单调性即可得出【解答】解：（）由，左顶点A与右焦点F的距离=，a+c=2+，又a2=b2+c2，解得c=2，a=，b=1椭圆C的方程为=1（）过右焦点F（2，0）斜率为k的直线l：y=k（x2），代入椭圆方程可得：（1+5k2）x220k2x+20k2
30、5=0，设点M（x1，y1），N（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=，|MN|=，点P（2，1）到直线l的距离d=，MNP的面积S=d|MN|=，令=t1，则S=，记g（t）=5t在1，+）单调递增，g（t）min=g（1）=1，所以S最大值为，此时，k=0，l的方程：y=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题20（14分）（2016红桥区一模）设函数f（x）=ax2lnx（aR）（1）若f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为，求a的值；（2）当a0时，求f（x）的单调区间；（3）若g
31、（x）=axex，求证：在x0时，f（x）g（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）通过f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率，可得f（e）=，解得，（2）由（1）知：f（x）=（x0），结合导数分a0、a0两种情况讨论即可；（3I）通过变形，只需证明h（x）=exlnx20即可，利用h（x）=，根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得结论【解答】解：（）函数的导数f（x）=a，若f（x）在点（e，f（e）处的切线斜率为，则f（e）=a=，得a=（3分）（）由f（x）=a=，（x0），当a0时，令f（x
32、）=0 解得：x=（5分）当x变化时，f（x），f（x）随x变化情况如下表：（0，）（，+）f（x）0+f（x）递减递增由表可知：f（x）在（0，）上是单调减函数，在（，+）上是单调增函数所以，当a0时，f（x）的单调减区间为（0，），单调增区间为（，+）（8分）（）当x0时，要证f（x）ax2+ex0，即证exlnx20，令h（x）=exlnx2，（x0），只需证h（x）0，h（x）=ex，由指数函数及幂函数的性质知：h（x）=ex在（0，+）上是增函数又h（1）=e10，h（）=e20，h（1）h（）0，即h（x）在（，1）内存在唯一的零点，也即h（x）在（0，+）上有唯一零点（10分）设h（x）的零点为t，则h（t）=et=0，即et=，（t1），由h（x）的单调性知：当x（0，t）时，h（x）h（t）=0，h（x）为减函数当x（t+）时，h（x）h（t）=0，h（x）为增函数，所以当x0时，又，故等号不成立，g（x）0，即当x0时，f（x）g（x）h（x）h（t）=etlnt2=2=+t222=0又t1，等号不成立，h（x）0，即在x0时，f（x）g（x）（14分）【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，综合性较强，难度较大