1、第三章 概率章末优化总结网络 体系构建专题 归纳整合专题一 概率的统计定义与意义频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而改变，而概率是大量重复试验中频率的稳定值，是一个常数，是反映随机事件可能性大小的一个数量，概率意义下的可能性是大量随机现象的客观规律 近年来校园安全事故频发，为了加强学校安全工作，杜绝外来人员随意出入校园，某校为学生制作了精美的胸卡，为了了解高一年级学生佩戴胸卡的情况，学生工作处在学校大门口按系统抽样的方法，每 2 分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的姓名结果，150 名学生中 60 名佩戴胸卡，第二次检查，有 500 名学生佩戴胸卡，试估计高一年级的学生总数解析
2、 设高一年级的学生总人数为 n，依题意得 60150500n，则 n1 250，所以高一年级大约有 1 250 名学生1如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了 10 次有 9 个白球，估计袋中数量最多的球是_解析：取了 10 次有 9 个白球，则取出白球的频率是 910，估计其概率约是 910，取出黑球的概率约是 110，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球答案：白球专题二 互斥事件与对立事件判断互斥事件和对立事件时，主要用定义来判断当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，
3、这两个事件是对立事件 如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10202030304040505060选择 L1 的人数612181212选择 L2 的人数0416164(1)分别求通过路径 L1 和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(2)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解析(1)选择 L1 的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)1020203
4、0304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(2)设 A1，A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站由(1)知 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，所以甲应选择 L1；P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B1)P(B2)，所以乙应选择 L2.2某校有教职工 500 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：高中专科本科研究生合计35 岁以
5、下101505035245355020100201315350 岁以上3060102102随机抽取一人，求下列事件的概率：(1)50 岁以上具有专科或专科以上学历；(2)具有本科学历；(3)不具有研究生学历解析：(1)设事件 A 表示“50 岁以上具有专科或专科以上学历”，P(A)601025000.144.(2)设事件 B 表示“具有本科学历”，P(B)5020105000.16.(3)设事件 C 表示“不具有研究生学历”，P(C)1351325000.9.专题三 古典概型古典概型是一种基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本
6、特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A)mn时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，求出n、m.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为 1，2，3，4，5 的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号为 3，则获得奖金 100 元；若抽取的小球编号为偶数，则获得奖金 50 元；若抽取的小球是其余编号，则不中奖现某顾客有放回地抽奖两次(1)求该顾客两次都没中奖的概率；(2)求该顾客获得奖金之和为 100 元的概率解析(1)该顾客有放回地抽奖两次的所有情况有(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，2)(2
7、，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)，共 25 种两次都没中奖的情况有(1，1)(1，5)(5，1)(5，5)，共 4 种，故所求概率 P 425.(2)获得奖金之和为 100 元的情况有：第一次获奖 100 元，第二次没有中奖，其中奖的情况有(3，1)(3，5)，故概率 P1 225；两次均获奖 50 元，其中奖的情况有(2，2)(2，4)(4，2)(4，4)，故概率 P2 425；第一次没有中奖，第二次获奖 100 元，其中奖的情况有(1，3)(5，3
8、)，故概率 P3 225.所以所求概率 P4P1P2P3 825.3.小陈以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校足球队游戏规则：从 A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这 6 个点中任取 2 个点，记选取的在 y 轴上的点的个数为 X.若 X0 就参加学校合唱团，否则就参加学校足球队(1)请列出从 A1，A2，A3，A4，A5，A6中任取 2 个点的所有可能情况；(2)求小陈不参加学校合唱团的概率解析：(1)从 A1，A2，A3，A4，A5，A6中任取 2 个点包含的所有情况为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，
9、A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共有 15 种(2)当 X0 时，所取的 2 个点均不在 y 轴上，即从 A1，A2，A5，A6中任取 2 个点，所有可能的情况为A1，A2，A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A5，A6，共 6 种所以小陈参加学校合唱团的概率为 61525，所以小陈不参加学校合唱团的概率 P12535.专题四 几何概型若试验同时具有基本事件的无限性与每个事件发生的等可能性这两个特征，则此试验为几何概型由于其结果的无限性，概率就不能应用 P(A)mn求解，故需转化为几何量度(如长度、面积、体积等)的比值求解几何概型同古典概型一
10、样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的地位 在棱长为 3 的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离都大于13棱长的概率解析 依题意，在棱长为 3 的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离都大于13棱长(即大于 1)，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为 1 的小正方体(如图所示)由几何概型的定义，可得满足题意的概率为 P1333 127.4已知圆 C：x2y212，直线 l：4x3y25.(1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_；(2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为_解析：(1)根据点到直线的距离公式得 d255 5.(
11、2)设直线 4x3yc 到圆心的距离为 3，到直线 l 的距离为 2，则|c|5 3，即 c15，则直线 4x3y15 截圆所得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率由于圆的半径是 2 3，则可得直线 4x3y15 截得的劣弧所对的圆心角为 60，故所求的概率是16.答案：(1)5(2)16专题五 数形结合思想数形结合的思想，主要包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在本章中，主要是借助形的生动性和直观性来阐明基本事件之间的联系，本章常见的数形结合思想如下：1树状图：是列举基本事件的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求2Venn 图：在研究事件之间的关系和运算时，将试验中的
12、基本事件转化成集合的元素个数，因而通过集合之间的关系解决概率问题，借助于 Venn 图可以使抽象问题具体化3一维、二维图形：在研究几何概型问题时，将所研究的问题转化为线段、面积、体积之比，从而借助于图形直观地求概率，将抽象问题具体化 在区间0，1上任取三个实数 x，y，z，事件 A(x，y，z)|x2y2z21(1)构造出此随机事件 A 对应的几何图形；(2)利用此图形求事件 A 的概率解析(1)如图所示，在第一象限内，构造单位正方体 OABC-DABC，以 O 为球心，以 1 为半径在第一象限内的18球，即为事件 A.(2)P(A)184313136.5.如图，在等腰三角形 ABC 中，BC30.(1)在底边 BC 上任取一点 P，求 BPAB 的概率；(2)在BAC 的内部任作射线 AP，交线段 BC 于点 P，求BPAB 的概率解析：(1)以点 B 为圆心，AB 为半径画弧交 BC 于点 M(图略)，则点 P 必须落在线段BM 上(不包括右端点)才有 BPBMAB.于是 P(BPAB)P(BPBM)BMBCABBCAB2ABcos 30 13 33.(2)射线 AP 在BAC 内是等可能分布的，在 BC 上取一点 M(图略)，使AMB75，则 BMAB，当点 P 落在线段 BM 上(不包括右端点)时，BPAB.于是所求的概率为 7512058.