1、32 同角三角函数的基本关系及诱导公式知识梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：sincostan2k，kZ.2三角函数的诱导公式诊断自测 1概念思辨(1)存在角，使 sin2sin21.()(2)若 sin(37)13，则 cos(53)13.()(3)若 sin(k)13(kZ)，则 sin13.()(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化；其中的“符号”与 的大小无关()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修 A4P29B 组 T2)已知 cos2 35，且 2
2、，32，则 tan()A.43B.34C34D34答案 B解析 因为 cos2 35，所以 sin35.显然 在第三象限，所以 cos45，故 tan34.故选 B.(2)(必修 A4P71T3)设函数 f(x)1sinx1sinx1sinx1sinx，且 f()1，为第二象限角，则 tan 的值()A.12B12C.13D13答案 B解析 函数 f(x)1sinx1sinx1sinx1sinx，且 f()1，为第二象限角1sin1sin1sin1sin1sincos1sincos1sincos1sincos 2tan1，tan12.故选 B.3小题热身(1)(2018石家庄一模)已知 f()
3、sincos2costan，则 f253的值为()A.12B12C.32D 32答案 A解析 f()sincoscostancos，f253cos253cos83 cos312.故选 A.(2)(2017桂林模拟)若 sin4 13，则 cos4 _.答案 13解析 cos4 cos24 sin4)sin4 13.题型 1 同角三角函数关系式的应用 典例 (2017杭州模拟)已知2x0，sinxcosx15.(1)求 sinxcosx 的值；(2)求 tanx；(3)求1cos2xsin2x的值本题可采用方程组法、平方法、“1”的巧用，切弦互化解(1)sinxcosx15，(sinxcosx)
4、2152，即 12sinxcosx 125，2sinxcosx2425.(sinxcosx)2sin2x2sinxcosxcos2x12sinxcosx124254925.又2x0，sinx0，sinxcosx0.由可知 sinxcosx75.(2)由已知条件及(1)可知sinxcosx15，sinxcosx75，解得sinx35，cosx45，tanx34.(3)由(1)可得1cos2xsin2x1cosxsinxcosxsinx 11575257.1cos2xsin2x257.结论探究 1 在本典例条件下，求sinx2cosx4sinxcosx的值解 sinx2cosx4sinxcosx
5、tanx24tanx134231118.结论探究 2 在本典例条件下，求 sin2xsinxcosx 的值解 sin2xsinxcosxsin2xsinxcosxsin2xcos2x tan2xtanxtan2x1 916349161325.方法技巧同角三角函数关系式的应用方法1利用 sin2cos21 可实现 的正弦、余弦的互化，利用sincostan 可以实现角 的弦切互化见典例(1)2由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论3sin，cos 的齐次式的应用
6、：分式中分子与分母是关于 sin，cos 的齐次式，或含有 sin2，cos2 及 sincos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos21”代换后转化为“切”后求解见结论探究 2.冲关针对训练1.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如右图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 tan4 _.答案 7解析 依题意得大、小正方形的边长分别是 5,1，于是有 5sin5cos100，cos0，所以 cos1|cos|sin 1|si
7、n|110，即原式等于 0.题 型 2 诱 导 公 式、同 角 三 角 函 数 关 系 的 综 合 应 用角度 1 化简与求值 典例 (2017东平月考)(1)化简：cossin23tan4tancos3；(2)求值：12sin10cos10cos10 1cos2170.(1)切化弦、转化法(2)配方法，根式化简解(1)cossin23tan4tancos3cossin2tantancos31.(2)12sin10cos10cos10 1cos2170 cos10sin102cos10sin10cos10sin10cos10sin101.角度 2 sincos、sincos、sincos 三者
8、之间的关系问题 典例(2018葫芦岛模拟)(1)已知 sinxcosx13，求 sin4xcos4x的值；(2)已知 sinxcosx 713(0 x)，求 cosx2sinx 的值转化法、平方法解(1)将 sinxcosx13，两边平方得：(sinxcosx)212sinxcosx19，sinxcosx49，则 sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x12sin2xcos2x4981.(2)sinxcosx 713(0 x)，cosx0，即 sinxcosx0，把 sinxcosx 713，两边平方得 12sinxcosx 49169，即 2sinxcosx120
9、169，(sinxcosx)212sinxcosx289169，即 sinxcosx1713，联立，解得 sinx 513，cosx1213，cosx2sinx2213.方法技巧化简与求值问题的常见类型及求解策略1知弦求弦问题，利用诱导公式及同角的平方关系 sin2cos21 求解2知切求弦问题，利用同角的商数关系sincostan 化为 sincostan 的形式，再结合平方关系求解3知弦求切问题，结合平方关系，三个关系式 sincos，sincos，sincos 可进行相互转化，此时要注意sincostan 的灵活运用见角度 2 典例提醒：巧用相关角的关系会简化解题过程常见的互余关系有3
10、与6；3 与6；4 与4 等，常见的互补关系有3 与23；4 与34 等冲关针对训练1(2017 衡水模拟)已知 cos512 13，且2，则cos12 等于()A.2 23B.13C13D2 23答案 D解析 因为512 12 2，所以 cos12 sin212 sin512.因为2，所以7125120，所以2512 12，所以 sin512 1cos251211322 23.故选 D.2(2017启东市校级期中)已知 0，2，且 f()cos1sin1sinsin1cos1cos.(1)化简 f()；(2)若 f()35，求sin1cos cos1sin的值解(1)0，2，sin(0,1)
11、，cos(0,1)，f()cos1sin1sinsin1cos1coscos1sin21sin2sin1cos21cos2 1sin1cos2sincos.(2)f()352sincos，sincos75，两边平方可得 12sincos4925，解得 sincos1225，sin1cos cos1sin sin1sincos1cos1cos1sin1sincos1sincossincos175175122556.1(2016全国卷)若 tan34，则 cos22sin2()A.6425B.4825C1 D.1625答案 A解析 当 tan34时，原式cos24sincoscos24sincos
12、sin2cos214tantan21143491616425.故选 A.2(2017湖南衡阳二模)已知 2，2 且 sincosa，其中a(0,1)，则 tan 的可能取值是()A3 B3 或13C13D3 或13答案 C解析 sincosa，两边平方可得 2sincosa21，由 a(0,1)得 sincos0，sin0 知|sin|sin，12sinsin32 12sincos|sincos|cossin.故选 B.4(2018湖南模拟)已知 sin 2cos 3，则 tan_.答案 22解析 已知等式两边平方得(sin 2cos)2sin22 2sincos2cos23，sin22 2s
13、incos2cos2sin2cos2tan22 2tan2tan213，整理得(2tan1)20，解得 tan 22.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017郑州期末)若 tan(5)m，则sin3cossincos 的值为()A.m1m1B.m1m1C1 D1答案 A解析 由 tan(5)m，得 tanm.原式sincossincossincossincostan1tan1m1m1.故选 A.2.12sin3cos3化简的结果是()Asin3cos3 Bcos3sin3C(sin3cos3)D以上都不对答案 A解析 sin(3)sin3，cos(3)cos3，原式 12sin3cos3 s
14、in3cos32|sin3cos3|.230，cos30.原式sin3cos3.选 A.3(2017梅州模拟)已知 为锐角，且 tan()30，则 sin的值是()A.13B.3 1010C.3 77D.3 55答案 B解析 由 tan()30 得 tan3，即sincos3，sin3cos，所以 sin29(1sin2)，10sin29，sin2 910.又因为 为锐角，所以 sin3 1010.故选 B.4(2017化德县校级期末)设 cos(80)m，那么 tan100等于()A.1m2mB 1m2mC.m1m2Dm1m2答案 B解析 cos(80)m，cos80m，sin80 1cos
15、280 1m2.tan100tan80 1m2m.故选 B.5.sin40 1cos8012sin10cos10sin10的值为()A.12B.22C.2D.3答案 B解析 sin40 1cos8012sin10cos10sin10sin40 2cos40cos10sin10sin1022 sin80cos10 22.故选 B.6(2017雅安模拟)已知 sincos43，0，4，则 sincos的值为()A.23B.13C 23D13答案 C解析(sincos)2169，12sincos169，2sincos79，由(sincos)212sincos17929，可得sincos 23.又0，
16、4，sin0，则 cos 22，34.13已知1cosxsinx13，则1cosxsinx的值是_答案 3解析 sin2xcos2x1，sin2x1cos2x，即1cosxsinxsinx1cosx，1cosxsinx13，1cosxsinxsinx1cosx3.14在ABC 中，若 sin(2A)2sin(B)，3cosA 2cos(B)，则 C_.答案 712解析 由已知得sinA 2sinB，3cosA 2cosB，22，得 2cos2A1，即 cosA 22，当 cosA 22 时，cosB 32，又 A，B 是三角形的内角，所以 A4，B6，所以 C(AB)712.当 cosA 22
17、 时，cosB 32.又 A，B 是三角形的内角，所以 A34，B56，不符合题意综上，C712.三、解答题15已知20，且函数 f()cos32 sin1cos1cos1.(1)化简 f()；(2)若 f()15，求 sincos 和 sincos 的值解(1)f()sinsin1cos21cos2 1sinsin1cossin1sincos.(2)由 f()sincos15，平方可得 sin22sincoscos2125，即 2sincos2425.sincos1225.(sincos)212sincos4925，又20，sin0，sincos0，sincos75.16已知 f(x)cos2nxsin2nxcos22n1x(nZ)(1)化简 f(x)的表达式；(2)求 f2018 f5041009 的值解(1)f(x)cos2nxsin2nxcos22n1xcos2xsin2xcos2xsin2x.(2)由(1)得 f2018 f5041009sin2 2018sin210082018sin2 2018sin22 2018sin2 2018cos2 20181.
