1、课时作业12变化率与导数、导数的计算一、选择题1(2014济宁模拟)已知f(x)x(2 012lnx)，f(x0)2 013，则x0()Ae2B1Cln2 De解析：由题意可知f(x)2 012lnxx2 013lnx.由f(x0)2 013，得lnx00，解得x01.答案：B2(2015山西大学附中月考)曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x3 By2x3Cy2x1 Dy2x1解析：y，ky|x12，设切线方程为y(1)2(x1)，即y2x1，故选C.答案：C3(2015泸州市质量诊断)设函数f(x)ax33x，其图象在点(1，f(1)处的切线l与直线x6y70垂直，则直线l与坐标轴
2、围成的三角形的面积为()A1 B3C9 D12解析：f(x)3ax23，由题设得f(1)6，3a36，a3，所以f(x)3x33x，f(1)0，切线l的方程为y06(x1)，即y6x6，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为：S163，故选B.答案：B4(2015广东实验中学月考)已知函数f(x)x22cosx，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)在原点附近的图象大致是()ABCD解析：函数f(x)x22cosx，f(x)2x2sinx2(xsinx)，f(x)2x2sinx(2x2sinx)f(x)，导函数是奇函数，x，xsinx0，B、C、D不正确故选A.答案：A5(2015海口市
3、调研)若点P是曲线yx2lnx上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B.C. D.解析：设P(x0，y0)到直线yx2的距离最小，则y|xx02x01.得x01或x0(舍)，P点坐标(1,1)P到直线yx2的距离为d.答案：B6(2015成都七中期中考试)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a()A1或 B1或C或 D或7解析：由yx3求导得y3x2设曲线yx3上的任意一点(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0)，将点(1,0)代入方程得x00或x0.(1)当x00时：切线为y0，所以ax2x90仅有一解，得a.(2)当x0时：切线为yx，由得ax2
4、3x0仅有一解，得a1.综上知a1或a.答案：A二、填空题7(2015广东惠州市调研)曲线C：y在点(1,0)处的切线方程为_解析：由f(x)，则f(x).所以f(1)1，即切线l的斜率为1.又切线l过点(1,0)，所以切线l的方程为yx1，一般方程为xy10.答案：xy108(2015成都外国语学校月考)已知直线l过点(0，1)，且与曲线yxlnx相切，则直线l的方程为_解析：将f(x)xlnx求导得f(x)lnx1，设切点为(x0，y0)，l的方程为yy0(lnx01)(xx0)，因为直线l过点(0，1)，所以1y0(lnx01)(0x0)，又y0x0lnx0，所以1x0lnx0x0(ln
5、x01)，x01，y00，所以切线方程为yx1.答案：yx19(2015哈尔滨调研)已知函数f(x)xsinxcosx的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tanx0_.解析：由f(x)xsinxcosx得f(x)cosxsinx，则kf(x0)cosx0sinx01，即sinx0cosx01，即sin1.所以x02k，kZ，解得x02k，kZ.故tanx0tantan.答案：三、解答题10设函数f(x)x3ax29x1，当曲线yf(x)斜率最小的切线与直线12xy6平行时，求a的值解析：f(x)3x22ax9329，即当x时，函数f(x)取得最小值9，因斜率最小的切线与12xy6平行
6、，即该切线的斜率为12，所以912，即a29，即a3.11已知函数f(x)x，g(x)a(2lnx)(a0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线解析：根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得：y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以，两条切线不是同一条直线12已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程(1)直线l和yf(x)相切且以P为切点；(2)直线l和yf(x)相切且切点异于P.解析：(1)由f(x)x33x得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，故所求的直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x3.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，所以3x3，即x3x023(x1)(x01)解得x01(舍去)或x0，故所求直线的斜率为k3.所以l的方程为y(2)(x1)，即9x4y10.