1、 函数的值域与最值高考试题考点一 函数的最值1.(2009年宁夏、海南卷,文12)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为()(A)4(B)5(C)6(D)7解析:f(x)=min2x,x+2,10-x(x0)的图象如图所示.令x+2=10-x,得x=4.当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=6.故选C.答案:C2.(2012年新课标全国卷,文16)设函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则M+m=.解析:f(x)= =1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2
2、.答案:23.(2010年江苏卷,14)将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=,则s的最小值是.解析:如图所示,设梯形上底边长为x(0x1),则梯形两腰长为1-x,高为 (1-x).s=-.令u(x)=,0x1.u(x)=,当0x0,u(x)单调递增;当x1时,u(x)0,u(x)单调递减,当x=时,u(x)最大,s最小,smin=-=.答案:4.(2010年广东卷,文20)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2),其中常数k为负数,且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)=x(x-2).(1)求f(-1),f(2.5)的值;(2)
3、写出f(x)在-3,3上的表达式,并讨论函数f(x)在-3,3上的单调性;(3)求出f(x)在-3,3上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.解:(1)f(-1)=kf(1)=-k,f(0.5)=kf(2.5),f(2.5)=f(0.5)= (0.5-2)0.5=-.(2)对任意实数x,f(x)=kf(x+2),f(x-2)=kf(x),f(x)=f(x-2),当-2x0时,0x+22,f(x)=kf(x+2)=kx(x+2);当-3x-2时,-1x+20,f(x)=kf(x+2)=k2(x+2)(x+4);当2x3时,0x-21,f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4).故f(x)
4、=k0,f(x)在-3,-1与1,3上为增函数,在-1,1上为减函数.(3)由函数f(x)在-3,3上的单调性可知,f(x)在x=-3或x=1处取得最小值f(-3)=-k2或f(1)=-1,而在x=-1或x=3处取得最大值f(-1)=-k或f(3)=-.故有k-1时,f(x)在x=-3处取得最小值f(-3)=-k2,在x=-1处取得最大值f(-1)=-k.k=-1时,f(x)在x=-3与x=1处取得最小值f(-3)=f(1)=-1,在x=-1与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1.-1k0,3x+11,log2(3x+1)0.f(x)(0,+).故选A.答案:A2.(2010年天津卷,文
5、10)设函数g(x)=x2-2(xR),f(x)=则f(x)的值域是()(A)(1,+)(B)0,+)(C)(D)(2,+)解析:由题意f(x)=所以当x(-,-1)(2,+)时,f(x)的值域为(2,+);当x-1,2时,f(x)的值域为,故选D.答案:D3.(2011年上海卷,文14)设g(x)是定义在R上,以1为周期的函数,若函数f(x)=x+g(x)在区间0,1上的值域为-2,5,则f(x)在区间0,3上的值域为.解析:设x10,1,f(x1)=x1+g(x1)-2,5.函数g(x)是以1为周期的函数,当x21,2时,f(x2)=f(x1+1)=x1+1+g(x1)-1,6,当x32,
6、3时,f(x3)=f(x1+2)=x1+2+g(x1)0,7.综上可知,当x0,3时,f(x)-2,7.答案:-2,7模拟试题考点一 函数的最值问题1.(2012黑龙江重点中学质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)=ex+a,若f(x)在R上是单调函数,则实数a的最小值是()(A)1 (B)-1(C)-2(D)2解析:依题意得f(0)=0,当x0时,f(x)e0+a=a+1,若f(x)在R上是单调函数,则有a+10,a-1,因此实数a的最小值是-1,故选B.答案:B2.(2011桂林调研)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m、n满足mn,且f(m)=f(n),若f(
7、x)在区间m2,n上的最大值为2,则m+n等于()(A)-1(B)(C)1 (D)2解析:由函数f(x)=|log2x|的图象知,当mn且f(m)=f(n),得mn=1,且0m1n.0m2m10,a1,函数f(x)=若函数f(x)在0,2上的最大值比最小值大,则a的值为.解析:若a1,则函数f(x)在0,1递增,1,2递减,f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(0)=1或f(x)min=f(2)=a-2,或故a=.若0a0,(0,1),-0,故04-2x4,函数值域为0,2).答案:C2.(2013陕西西安市长安区上学期检测)在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”;当ab时
8、,ab=a;当ab时,ab=b2,函数f(x)=(1x)x(其中“”仍为通常的乘法),则函数f(x)在0,2上的值域为()(A)0,4(B)1,4(C)0,8(D)1,8解析:根据定义,f(x)=当x0,1时,f(x)0,1;当x(1,2时,f(x)(1,8,故函数f(x)在0,2上的值域为0,8.答案:C3.(2013四川双流中学9月月考)对于函数y=f(x)(xI),y=g(x)(xI),若对任意xI,存在x0使得f(x)f(x0),g(x)g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函
9、数f(x)在区间上的最大值为()(A) (B)2(C)4 (D)解析:g(x)= =x+-12-1=1,当且仅当x=1时,等号成立,f(x)在x=1处有最小值1,即p=-2,12-21+q=1,q=2,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,f(x)max=f(2)=(2-1)2+1=2.答案:B4.(2013浙江萧山中学10月检测)函数y=1-的最大值与最小值的和为.解析:令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max+f(x)min=0,ymax+ymin=2.答案:25.(2012山东威海二模)设函数y=x2-2x,x-2,a,若函数的最小值为g(a),则g(a)=.解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1,对称轴x=1,而x=1不一定在区间-2,a上,应进行讨论.当-2a0),记梯形ABCD的周长为f(x),求f(x)的解析式及最大值.解:过点C作CEAB于E,则OE=x(0x1),EB=1-x.x2+y2=1,CB=,f(x)=2+2x+2(0x1),令=t,则2x=2-t2(0t).f(x)=4-t2+2t=-(t-1)2+55,当t=1,即x=时f(x)有最大值为5.