1、分层限时跟踪练(四十九)(限时40分钟)1在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点【解】(1)由题意知，抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x得y24ty4b0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，
2、y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)若4，则直线l必过一定点(2,0)2(2015陕西高考)如图886，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.图886(1)求椭圆E的方程(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【解】(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，
3、代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.3给出双曲线x21.(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由【解】(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y
4、22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y2x1.考虑到方程组无解，因此满足题设条件的直线m是不存在的4已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，且过点P(，)(1)求椭圆C的方程；(2)设Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆C上一点过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,2)，连结AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由【解】(1)因为焦距为4，所以a2b24.又因为椭圆C过点P(，)，所以1，故a28，b24，从而
5、椭圆C的方程为1.(2)由题意知，E点坐标为(x0,0)，设D(xD,0)，则(x0，2)，(xD，2)，再由ADAE知，0，即x0xD80.由于x0y00，故xD.因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G.故直线QG的斜率kQG.又因Q(x0，y0)在椭圆C上，所以x2y8.从而kQG.故直线QG的方程为y.将代入椭圆C的方程，得(x2y)x216x0x6416y0.再将代入，化简得x22x0xx0.解得xx0，yy0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点1已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|
6、FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(1)求C的方程；(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E，证明直线AE过定点，并求出定点坐标【解】(1)由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y
7、0，由题意0，得b.设E(xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)2已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围；(3)若点P满足|PA|PB|，求证：为定值【解】(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a2
8、3，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G.设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|22y2y2x2y2x3xx.又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是.(3)证明：由|PA|PB|，知P在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性可知A、B关于原点对称若A、B在椭圆的短轴顶点处，则点P在椭圆的长轴顶点处，此时22.若A、B在椭圆的长轴顶点处，则点P在椭圆的短轴顶点处，此时22.当点A、B、P不在椭圆顶点处时，设直线l的方程为ykx(k0)，则直线OP的方程为yx，设A(x2，y2)，B(x2，y2)由解得
9、x，y.所以|OA|2|OB|2xy，用代换k，得|OP|2.2.综上，为定值2.3已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在y轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：x014y221(1)求C1，C2的标准方程；(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P，且与C2的准线相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【解】(1)设C1，C2的标准方程分别为1(ab0)，x2py，(0，2)不符合x2py，该点必为椭圆上的点，代入得a2.即椭圆方程为1，若(4,1)在椭圆上，
10、则有1，b2a2(不合题意)即(4,1)在抛物线上，p16，抛物线方程为x216y，验证得在抛物线上，(，2)不在抛物线上，(，2)在椭圆上，b24.故C1，C2的标准方程分别为1，x216y.(2)存在设直线l的方程为xmyn，将其代入1，消去x并化简整理得(12m2)y24mny2n280，l与C1相切，16m2n24(12m2)(2n28)0，n24(12m2)，设切点P(x0，y0)，则y0，x0my0n.又直线l与C2的准线y4的交点Q(n4m，4)，以PQ为直径的圆的方程为(xn4m)(y4)0，化简并整理得x2x(4mn)x(y2)(y2)20，当x0，y2时，等式恒成立，即存在
11、定点M(0，2)符合题意4(2015湖北高考)一种画椭圆的工具如图887(1)所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图887(2)所示的平面直角坐标系图887(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由【解】(1)因为|OM
12、|MN|NO|314，当M，N在x轴上时，等号成立；同理，|OM|MN|NO|312，当D，O重合，即MNx轴时，等号成立，所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(4m216)0，即m216k24.又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.将代入，得SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，则014k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ取最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.