1、-1-单元整合-2-单元整合 知识网络 专题探究-3-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将直线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数 t,其一般步骤为:将参数 t 用变量 x 表示;将 t 代入 y 的表达式;整理得到 x,y 的关系,即为所求的普通方程.(2)参数方程与普通方程的区别与联系.曲线的普通方程 F(x,y)=0 是相对参数方程而言,它反映了坐标变量 x与 y 之间的直接联系;而参数方程 x=f(t),y=g(t)(t 为参数)是通过参数 t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方
2、程的个数多 1;曲线的参数方程中,有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.-4-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式.参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.-5-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二【应用 1】已知圆(x-r)2+y2=r2(r0),点 M 在圆上,O 为原点,以MOx=为参数,那么圆的参数方程为()A.x=r,y=rB.x=r(1+),y=rC.x=r,y=r(1+)D.x=r(1+2),y=r2-6-单元整合 专题
3、探究 知识网络 专题一 专题二 解析:如图,设圆心为 O,连接 OM.O为圆心,MOx=2.x=r+r2,y=r2.答案:D-7-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二【应用 2】求在下列条件下普通方程 4x2+y2=16 对应的参数方程.(1)设 y=4sin,为参数;(2)以过点 A(0,4)的直线的斜率 k 为参数.提示:对于(1),可以直接把 y=4sin 代入已知方程,解方程求出 x 即可;对于(2),可寻找斜率 k 与此方程任一点的坐标之间的关系来求解.解:(1)把 y=4sin 代入方程,得到 4x2+16sin2=16,于是4x2=16-16sin2=16cos2.所以
4、x=2cos.由于参数 的任意性,可取 x=2cos,因此 4x2+y2=16 的参数方程是 x=2,y=4(为参数).-8-单元整合 专题探究 知识网络(2)设 M(x,y)是曲线 4x2+y2=16 上异于 A 的任一点,则y-4x=k(x0),将y=kx+4 代入方程,得 x(4+k2)x+8k=0.所以 x=-8k4+k2,y=-4k2+164+k2(k 为参数),易知 A(0,4)也适合此方程.另有一点 x=0,y=-4.所以所求的参数方程为 x=-8k4+k2,y=-4k2+164+k2(k 为参数)和 x=0,y=-4.专题一 专题二-9-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专
5、题二 专题二 曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量 x,y之间的间接关系.其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.-10-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二【应用 1】求点 M0(0,2)到双曲线 x2-y2=1 的最小距离(即双曲线上任一点 M 与点 M0 距离的最小值).解:把双曲线方程化为参数方程 x=,y=(为参数).设双曲线上的动点为 M(sec,tan),则|M0M|2=sec2+(tan-2)2=tan2+1+tan2-4tan+4=2tan2-
6、4tan+5=2(tan-1)2+3,当 tan-1=0,即 tan=1 时,|M0M|2 取最小值 3,此时有|M0M|=3,即点 M0 到双曲线的最小距离为 3.-11-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二【应用 2】椭圆x216+y24=1 上有 P,Q 两点,O 为椭圆中心,OP,OQ 的斜率分别为 kOP,kOQ,且 kOPkOQ=-14.(1)求|OP|2+|OQ|2 的值;(2)求线段 PQ 中点的轨迹方程.提示:利用椭圆的参数方程,设出 P,Q 的坐标,再依题意求解.-12-单元整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 解:(1)设 P(4cos 1,2sin 1),Q(4cos 2,2sin 2).因为 kOPkOQ=-14,所以2141 2242=-14.所以 cos(1-2)=0.所以 1-2=k+2(kZ).所以 sin21=cos22,cos21=sin22.所以|OP|2+|OQ|2=16cos21+4sin21+16cos22+4sin22=20,即|OP|2+|OQ|2=20.(2)设 PQ 的中点为(x,y),则 x=2(1+2),y=1+2.所以x24+y2=(cos 1+cos 2)2+(sin 1+sin 2)2=2+2cos(1-2)=2.所以 PQ 中点的轨迹方程为x28+y22=1.