1、北京联合大学附中三维设计2014年高考数学一轮复习单元训练：推理与证明本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知整数以按如下规律排成一列：、，则第个数对是( )ABC D【答案】C2由，猜想若，则与之间大小关系为( )A相等B前者大C后者大D不确定【答案】B3用反证法证明命题：若系数都为整数的一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数。下列假设中正确的是( )A 假设都是偶数B 假设都不是偶数C 假设中至多有一个偶数D 假设
2、中至多有两个偶数【答案】B4下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )A2B4C6D 8【答案】C5如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则底层的花盆的个数是( )A91B127C 169D255【答案】B6用反证法证明“如果，那么”时，反证假设的内容应是( )A B C或D 且【答案】C7已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形
3、ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是( )ABCD【答案】B8用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a, b, c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A a, b, c都是奇数B a, b, c都是偶数C a, b, c中至少有两个偶数D a, b, c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D9已知a ,b ,mR ，则下面推理中正确的是( )AabB CD 【答案】C10面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为，此四边形内任一点P到第i条边的距离为，若，则；根据以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为，若，则( )A BC
4、D【答案】B11如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面SCD内及其边界上运动，并且总是保持则动点的轨迹与组成的相关图形最有可有是图中的( )【答案】A12在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为( )【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13已知，若均为正实数），类比以上等式，可推测a,t的值，则=_.【答案】-2914将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 【答案】15两点等分单位圆时
5、，有相应正确关系为：三点等分单位圆时，有相应正确关系为：由此可以推知四点等分单位圆时的相应正确关系为_。【答案】16对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19，仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为 【答案】8三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17若函数满足下列条件：在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之，若不存在，则称函数不具有性质.(1）证明：函数具有性质，并求出对应的的值；(2）已知函数具有性质，求的取值范围；(3）试探究形如、的函数，指出哪些函
6、数一定具有性质?并加以证明.【答案】（1）代入得：即，解得函数具有性质. (2）的定义域为R，且可得，具有性质，存在，使得,代入得化为整理得: 有实根若,得，满足题意； 若,则要使有实根，只需满足,即，解得 综合,可得(3）解法一：函数恒具有性质，即关于的方程（*）恒有解.若，则方程（*）可化为整理，得当时，关于的方程（*）无解不恒具备性质；若，则方程（*）可化为，解得.函数一定具备性质.若，则方程（*）可化为无解不具备性质；若，则方程（*）可化为，化简得当时，方程（*）无解不恒具备性质；若，则方程（*）可化为，化简得显然方程无解不具备性质；综上所述，只有函数一定具备性质. 解法二：函数恒具有
7、性质，即函数与的图象恒有公共点.由图象分析，可知函数一定具备性质. 下面证明之：方程可化为，解得.函数一定具备性质.18【答案】假设三个式子都大于， 即（1-x）y , (1-y)z, (1-z)x, 三个式子相乘得: (1-x）y (1-y)z(1-z)x 0x1 x(1-x)()= 同理:y(1-y), z(1-z), （1-x）y (1-y)z(1-z)x 显然与矛盾,所以假设是错误的,故原命题成立.19将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.(）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值
8、”；(）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；(）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证： 【答案】（）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或 (）当时，数表为此时，数表的“特征值”为当时,数表为此时，数表的“特征值”为. 当时，数表为此时，数表的“特征值”为. 猜想“特征值”为.(）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为所以，从而 20已知的外心为，为的外接圆上
9、且在内部的任意一点，以为直径的圆分别与交于点， 分别与或其延长线交于点，求证三点共线。【答案】连，与交于点，由于，因此是等腰三角形，所以,，于是可得，从而有在的中垂线上。由于，在的中垂线上，于是有，即三点共线。21由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为， 1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28(1）求使得的最小的取值；(2）试推导关于、的解析式；( 3) 是否存在这样的“边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.【答案】 (1),由题意得,所以,最小的. (2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以,所以是首项为1公差为的等差数列,所以.(或等) (3) 显然满足题意, 而结论要对于任意的正整数都成立,则的判别式必须为零, 所以, 所以,满足题意的数列为“三角形数列”.22若实数满足，则称，(1）若的取值范围。(2）对任意两个不相等的正数，证明：【答案】（1）由题意得，即的取值范围是(2）当是不相等的正数时又