1、山东省烟台市第二中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一单选题1.下列条件中，能判断平面与平面平行的是（ ）A. 内有无穷多条直线都与平行B. 与同时平行于同一条直线C. 与同时垂直于同一条直线D. 与同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】【分析】利用空间几何元素的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 内有无穷多条直线都与平行,则还可能和相交，所以该选项错误；B. 与同时平行于同一条直线，则还可能和相交，所以该选项错误；C. 与同时垂直于同一条直线，则和平行，所以该选项正确；D. 与同时垂直于同一个平面，则还可能和相交，所以该选项错误.故选：C【点睛】本题
2、主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ）A. 630B. 615C. 600D. 570【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可.【详解】高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：.故选：D.【点睛】本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.3.已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是.则这
3、种产品的一级品率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】设事件A为合格品，事件B为一级品，则所以故选：A【点睛】本题考查条件概率，考查基本分析求解能力，属基础题.4.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地月日到日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A. 从日到日，日均值逐渐降低B. 这天的日均值的中位数是C. 这天中日均值的平均数是D. 从这天的日均监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是【答案】B【解
4、析】【分析】由折线图数据可判断出正确；由数据可计算得到中位数和平均数，知错误，正确；根据古典概型可计算得到正确.【详解】选项：日到日，由折线图知日均值每日逐渐降低，正确；选项：这天日均值的中位数为，错误；选项：日均值的平均数为，正确；选项：天中，空气质量为一级的有天，则随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率为，正确.故选：【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，涉及到平均数、中位数和古典概型的相关知识，属于基础题.5.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chu meng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如图，五面体是一个刍甍，其中是正三角形，则以下两个结论：；，（ ）A. 和
5、都不成立B. 成立，但不成立C. 不成立，但成立D. 和都成立【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断.【详解】解：，CD在平面CDEF内，AB不在平面CDEF内，平面CDEF，又EF在平面CDEF内，由AB在平面ABFE内，且平面平面，EF，故对；如图，取CD中点G，连接BG，FG，由ABCD2EF，易知GF，且DEGF，不妨设EF1，则，假设BFED，则，即，即FG1，但FG长度不定，故假设不一定成立，即不一定成立.故选：B.【点睛】本题考查线面平行的判定及性质，考查垂直关系的判定，考查逻辑推理能力，属于中档题.6.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶
6、数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，P(A)，P(B)，又小于5偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（AB）P(A)+P(B)，故选：A【点睛】本题主要考查古
7、典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题7.现对有如下观测数据345671615131417记本次测试中，两组数据的平均成绩分别为，两班学生成绩的方差分别为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】利用平均数以及方差的计算公式即可求解.【详解】，故，故选：C【点睛】本题考查了平均数与方差，需熟记公式，属于基础题.8.如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ）A. 平面PACB. C. D. 平面平面PBC【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的性质及判定，可判断AB
8、C选项，由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，又由圆的性质可知，且，则平面PAC.所以A正确；对于B，由A可知，由题意可知，且，所以平面，而平面，所以，所以B正确；对于C，由B可知平面，因而与平面不垂直，所以不成立，所以C错误.对于D，由A、B可知，平面PAC，平面，由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确；综上可知，C为错误选项.故选：C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定，面面垂直的判定定理，属于基础题.二 多选题9.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）A. “至少有一个黑球”与“都是黑球
9、”B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.10.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高
10、，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小【答案】AB【解析】【分析】从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）【详解】女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错（也可实际计算均值和方差比较）故选：AB.【点睛】本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力掌握样本数据特征如极差、方差
11、、均值、中位数是解题基础11.下面四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】对每个图形进行分析，根据面面平行的性质定理对A判断由线面平行 判定定理对D判断，由线面相交的定义对B，C判断【详解】（下面说明只写主要条件，其他略）A如图连接，可得，从而得平面，平面，于是有平面平面，平面，B如图连接交于点，连接，易知在底面正方形中不是中点（实际上是四等分点中靠近的一个），而是中点，因此与不平行，在平面内，与必相交，此交点也是直线与平面的公共点，直线与平面相交而不平行，C.如图，连接，正方体中有，因此在平面
12、内，直线与平面相交而不平行，D.如图，连接，可得，即，直线与平面平行，故选：AD【点睛】本题考查线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，掌握证明线面平行的方法是解题基础12.如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A. 在棱上存在点M，使平面B. 异面直线与所成的角为90C. 二面角的大小为45D. 平面【答案】ABC【解析】【分析】根据线面垂直的判定及性质定理一一验证可得.【详解】解：如图，对于，取的中点，连接，侧面为正三角形，又底面是菱形，是等边三角形，又，平面，平面，故正确.对于，平面，即异面直线与所成的角为90，故正确.对于，平面平面，平面，是
13、二面角的平面角，设，则，在中，即，故二面角的大小为45，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：【点睛】本题考查线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于基础题.三填空题13.已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(ABC)=_.【答案】0.9【解析】【分析】先计算，再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.14.正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值为 _ 【答案】【解析】试题分析：连接,则为与平面所成角，在中，考点：本小题主要考查直线与平面所成角的求法，考查学生的空间想象能力与运算求解能力.点评：求直线与平面所成的角，一般分为两大步：（1）
14、找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；（2）计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.15.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为_，80%分位数是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用极差和百分位数的概念求解.【详解】由题意知：数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是.故答案为：7，8.5.【点睛】本题主要考查极差和百分位数
15、的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，分别是线段的中点，点在线段上，若，则_.【答案】【解析】【分析】取的中点，连接，则，可证平面，从而可得平面，即可得，进而可证平面，可得，在直角中，利用等面积法即可求出的长.【详解】取的中点，连接，则因为平面，平面，所以，又，所以平面，所以平面，又平面，所以.又，平面,所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以,在直角中，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.四解答题17.为了了解某校初三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1min仰卧
16、起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40（1）这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？（2）次数位于与之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.8214.6)【答案】（1）平均成绩：，标准差：；（2）次数位于与之间的有6位同学，.【解析】【分析】（1）根据平均数公式以及标准差公式分别求解即可；（2）先求，再确定位于与之间学生人数，最后求百分比.【详解】（1）10名学生的平均成绩为：. 方差：，即标准差.（2），所以次数位于与之间的有6位同学，所占的百分比是.【点睛】本题考查平均数、标准差、百分比，考查基本分析求解能力，属基础
17、题.18.某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人.（1）根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；(中位数保留两位小数)（2）现用分层抽样的方法从分数在，的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.【答案】（1），中位数：；（2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直
18、方图的面积和为1、这100人中分数段的人数比分数段的人数多6人列式求解a，b的值，再根据中位数左右两边的面积均为计算即可.（2）在分数为的同学中抽取4人，分别用，表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，再利用枚举法求解即可.【详解】（1）依题意， ，解得，中位数.（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为的同学中抽取4人，分别用，表示，在分数为的同学中抽取2人，分别用，表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：，共15种，抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：，共8种，所以，抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直
19、方图求参数与中位数的方法、枚举法解决古典概型的问题，属于基础题.19.国家射击队的某队员射击一次，命中710环的概率如表所示： 命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次 求:（1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率【答案】(1)0.6;(2)0.78;(3)0.22.【解析】分析：（1）根据互斥事件概率加法得结果，（2）根据互斥事件概率加法得结果，（3）根据对立事件概率关系求结果.详解： 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（kN，k10），则事件Ak彼此互斥（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当
20、A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得 P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60 （2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事件概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=0.18+0.28+0.32=0.78 （3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P（）=1-P（B）=1-0.78=0.22点睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(
21、B)，独立事件概率乘法公式:若A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).20.如图，四棱锥的侧面是正三角形，且，是中点.（1）求证：平面；（2）若平面平面，且，求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）取中点，连接，通过割补法，由计算出多面体的体积.【详解】（1）取的中点，连接，因为是中点，所以，且，又因为，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）取中点，连接，因为是正三角形，所以，因为平面平面，且交线为，所以平面，因为，所以平面，所以，故，因为是中点，所以点到平
22、面的距离等于，所以多面体的体积为：.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查锥体体积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（I）写出该试验的基本事件，并求事件A发生的概率；（II）求事件B发生的概率；（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率【答案】（I）|=36，P（A）= （II）（III）【解析】【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件发生的概率.（II）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求
23、得事件发生的概率.（III）根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件与事件至少有一个发生的概率.【详解】（I）所有可能的基本事件为：共种.其中“两数之和为”的有共种，故.（II）由（I）得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为.（III）由（I） “两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有 三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.22.如图1，等腰梯形中，是的中点.将沿折起后如图2，使二面角成直二面角，设是的中点，是棱的中点. （1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）判
24、断能否垂直于平面，并说明理由.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析（3）与平面不垂直，理由见解析【解析】【分析】（1）证明，只需证明平面，利用与E是等边三角形，即可证明；（2）证明平面平面，只需证明平面，只需证明平面即可；（3）与平面不垂直.假设平面，则，从而可证明平面，可得，这与矛盾.【详解】（1）证明：设中点为，连接，在等腰梯形中，是的中点，与都是等边三角形.，.，平面，平面.平面，.（2）证明：连接交于点，四边形是平行四边形，是线段的中点.是的中点，.平面，平面.又平面，平面平面.（3）解：与平面不垂直.证明：假设平面，则，平面，.，平面，平面.平面，这与矛盾.与平面不垂直.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查证明面面垂直，掌握面线面、面面垂直的判定定理与性质定理是解题关键，解题时注意定理的灵活运用，即线线垂直与线面垂直、面面垂直的相互转化.