1、江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题(满分150分，考试时间120分钟)2021.02一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合AxN|2x6，Bx|log2(x1)2，则AB()A. x|3x5 B. x|2x5C. 3，4 D. 3，4，52. 已知2i是关于x的方程x2 ax50的根，则实数a()A. 2i B. 4C. 2 D. 43. 哥隆尺是一种特殊的尺子.图的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图的哥隆尺不能一次性度量的长度为()A. 1
2、1 B. 13 C. 15 D. 174. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式x(1ekt)，其中k0，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，当t23时，x，则该药物的消除速率k的值约为(ln 20.69)()A. B. C. D. 5. (12x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为()A. 2n B. 2n1C. D. 6. 函数y的图象大致为()7. 已知点P是ABC所在平面内一点，有下列四个等式：甲：0； 乙： ()()；丙：|；
3、丁： .如果只有一个等式不成立，则该等式为()A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8. 已知曲线yln x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线分别与曲线yex相切于C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x1x2y3y4的值为()A. 1 B. 2 C. D. 二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9. 已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则()A. 若m，n，则mn B. 若m，m，则C. 若，m，n，则mn D. 若，m，n，则mn10. 已知
4、函数f(x)sin(2x)，则()A. f(x)的最小正周期为B. 将ysin 2x的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到f(x)的图象C. f(x)在(，)上单调递增D. 点(，0)是f(x)图象的一个对称中心11. 若函数f(x)的值域为2，)，则()A. f(3)f(2) B. m2C. f()f() D. logm(m1)log(m1)(m2)12. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3人数的统计特征数中
5、，能判定该公司没有发生群体性发热的为()A. 中位数为3，众数为2 B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为3，众数为4 D. 均值为2，标准差为三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在正项等比数列an中，若a3a5a7 27，则log3ai.14. 已知双曲线C的渐近线方程为y2x，写出双曲线C的一个标准方程：.15. “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，ABC的三条边长分别为BCa，ACb，ABc.延长线段CA至点A1，使得AA1a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知a4
6、，b3，c5，则由ABC生成的康威圆的半径为.16. 已知在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O1O2的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面PAB与球O的交线长为.四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知等差数列an满足an2an13n5.(1) 求数列an的通项公式；(2) 记数列的前n项和为Sn，若nN*，Sn24(为偶数)，求的值.18.(本小题满分12分)在 (bac)(bac)ac； cos(AB)sin(AB)； tansin C这
7、三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，？(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.)19. (本小题满分12分) 2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：性别科目男生女生合计物理300历史150合计400800(1) 根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史
8、与性别有关；(2) 该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).参考公式和数据：K2，其中nabcd.P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820. (本小题满分12分) 如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至ABF，使得平面ABF平面BCDEF，点O，H分别为BF和AC的中点.(1) 求证：OH平面AEF；(2) 求平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分
9、) 已知函数f(x)x2a.(1) 若f(x)0，求实数a的取值范围；(2) 若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x21.22.(本小题满分12分) 已知点A，B在椭圆1(ab0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OAAB.(1) 若a，b1，直线OA的方程为x3y0，求直线OB的斜率；(2) 若OAB是等腰三角形(点O，A，B按顺时针排列)，求的最大值.20202021学年高三年级模拟考试卷(南通、镇江、泰州、徐州、宿迁、淮安)数学参考答案及评分标准1. C2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. B9. BC10. ACD11. ABD12. BD13. 914.
10、x21(答案不唯一)15. 16. 17. 解：(1) 设等差数列an的公差为d，因为an2an13n5，所以即解得a12，d1，(2分)所以an2(n1)n1.经检验，ann1符合题设，所以数列an的通项公式为ann1.(4分)(2) 由(1)得，(6分)所以Sn()()().(8分)因为nN*，Sn24，所以24，即(2)2.因为为偶数，所以2.(10分)18. 解：选择条件和.因为(bac)(bac)ac，所以a2c2b2ac.(2分)由余弦定理得cos B.因为0B，所以B.(4分)因为cos(AB)sin(AB)，所以cos(A)sin(A)，所以cos Acos sin Asin
11、sin Acos cos Asin ，所以sin Acos A.(6分)因为0A，所以A.(8分)在ABC中，由正弦定理，得，(10分)所以b2.(12分)选择条件和.因为(bac)(bac)ac，所以a2c2b2ac.(2分)由余弦定理，得cos B.因为0B，所以B.(4分)因为tan sin C，且tan tan ，所以sin C2sin cos .(6分)因为0C，所以cos 0，所以sin2.因为0C，所以sin 0，所以sin ，可得C.(8分)所以在RtABC中，batan 2.(12分)选择条件和.因为cos(AB)sin(AB)，所以cos Acos Bsin Asin Bs
12、in Acos Bcos Asin B，所以(sin Acos A)(sin Bcos B)0.(2分)所以sin Acos A或sin Bcos B.因为0A，0B，所以A或B.(4分)因为tan sin C，且tan tan ，所以sin C2sin cos .(6分)因为0C，所以cos 0，所以sin2.因为0C，所以sin 0，所以sin ，可得C.(8分)在ABC中，ABC，所以A，C，B.(10分)所以ABC为等腰直角三角形，所以ba2.(12分)19. 解：(1) 科目性别男生女生合计物理300250550历史100150250合计400400800(2分)因为K210.828
13、，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.(6分)(2) 按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.(7分)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.所以P(X0)，P(X1)，P(X2).所以X的分布列为X012P(10分)所以E(X)012.答：X的数学期望为.(12分)20. (1) 证明：如图，取AE的中点G，连接FG，HG，CE.因为H是AC的中点，所以HGCE，HGCE.因为正六边形ABCDEF中，BFCE，BFCE，所以HGBF，HGBF.(2分)又O为BF的中点，所以HGOF，HGOF，所以四边形OFGH为平行四边形，所以OHFG.(4分)因为FG平面AEF，
14、OH平面AEF，所以OH平面AEF.(6分)(2) 解：由条件可知OAOB，OAOD，ODOB.分别以OB，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设正六边形ABCDEF的边长为2，则B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，3，0)，E(，2，0)，A(0，0，1)，所以(0，2，0)，(，2，1)，(，1，0)，(0，3，1).设平面ABC的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得取x11，可得n1(1，0，).(8分)设平面ADE的法向量为n2(x2，y2，z2)，由得取x21，可得n2(1，3).(10分)设平面ABC与平面ADE所成锐二面角的大小为，则c
15、os |cosn1，n2|，所以平面ABC与平面ADE所成锐二面角的余弦值为.(12分)21. (1) 解：函数f(x)x2a的定义域为(0，)，f(x)2x.(1分)设r(x)x3ln x1，所以r(x)3x20，所以函数r(x)x3ln x1在(0，)上单调递增.又r(1)0，列表如下：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值(3分)所以当x1时，函数f(x)x2a取得最小值为f(1)1a.(4分)因为f(x)0，即1a0，所以a1.所以实数a的取值范围是(，1.(5分)(2) 证明：不妨设x1x2.由(1)可得，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以0x11
16、x2，01.(6分)因为f(x1)f(x2)0，所以f(x1)f()f(x2)f()(xa)(a)(x2)(x22ln x2).(8分)设函数g(x)x2ln x(x1)，则g(x)10(x1)，函数g(x)在(1，)上单调递增.所以g(x2)x22ln x2g(1)0，(10分)所以f(x1)f()0，即f(x1)f().又函数f(x)x2a在(0，1)上单调递减，所以0x11，所以x1x21.(12分)22. 解：(1) 由a，b1，得椭圆方程为y21.由得或因为点A在第一象限，所以A(，).(2分)又OAAB，所以直线AB的方程为y3(x)，即3xy50.由得或所以B(，)，(3分)所以
17、直线OB的斜率为kOB.(4分)(2) (解法1)设直线OA的斜率为k(k0)，则直线AB的斜率为.因为OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y10，x1x2).又OAAB，所以，得|y1|x1x2|，所以y1x2x1，即x2x1y1.又由OAAB，得1，所以y2y1x1.(6分)因为点A(x1，y1)，B(x1y1，y1x1)在椭圆1上，所以所以，整理得b2()22(a2b2)a20.(8分)所以4(a2b2)24a2b20，即(a2b2ab)(a2b2ab)0.(10分)因为a2b2ab0，所以a2b2ab0，即()210，所
18、以，当k1时，取最大值.(12分)(解法2)设直线OA的斜率为k(k0)，倾斜角为(090).因为OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，且OAAB，所以直线OB的斜率为kOBtan(45)或kOBtan(135)，所以kOB.(6分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y10，x1x2).由得x.由得x.又OBOA，所以2OA2OB2，得2(1k2)x1()2x，2(1k2)1()2.整理得b2k22(b2a2)ka20，(8分)所以4(b2a2)4a2b20，即(a2b2)2a2b20，所以(a2b2ab)(a2b2ab)0.(10分)因为a2b2ab0，所以a2b2ab0，即()210，所以，当k1时，取最大值.(12分)